Opérateurs logiques

Sommaire du document

NOT: opérateur de négation

Notation

Soit p une proposition logique, la négation de p se notera ¬p, ou ~p, ou encore p[1].

Dans la mesure du possible, j'utiliserai la notation p; mais dans le cas par exemple d'une double négation, j'utiliserai la notation ¬¬p (simplement parce que je n'ai pas trouvé le moyen de surligner deux fois un caractère...).

Définition

p = vrai <=> p = faux

p = faux <=> p = vrai

Table de vérité

pp
01
01
10
10

les valeurs sont purement et simplement inversées; nous pouvons parler de négation

Exemple

Soit la proposition (instruction) suivante:
if (a>b) printf("%d", a); else a++;

La négation ("!" en langage c) de la proposition donne:
if (!(a>b)) printf("%d",a); a++;

Remarques:

  • En modifiant l'ordre des instructions, la négation est annulée:
    if (!(a>b)) a++; else printf("%d", a);
  • Nous pouvons nier la proposition sans utiliser l'opérateur de négation:
    if (a>b) a++; else printf("%d", a); est égal à if (!(a>b)) printf("%d",a); a++;

Propriétés

Une double négation s'annule: ¬¬p = p.

Exemple: "if (!(!(a>b))) printf("%d",a); a++;" est égal à "if (a>b)printf("%d",a); a++;"

En électricité

L'équivalent en électricité de l'opérateur logique de négation est l'inverseur.

En électronique

Notation américaine:

Notation européenne:

Remarque

L'opérateur de négation porte sur une seule proposition, même si cette dernière peut être composée d'opérations, ou être très complexe.

 

AND: opérateur de conjonction

Notation

Soit p et q des propositions logiques, leur conjonction se notera p ^ q, ou p . q (attention: il ne s'agit pas ici d'algèbre traditionnel).

Définition

p . q = vrai <=> p = vrai ET q = vrai

Table de vérité

pqp . q
000
010
100
111

Nous pouvons donc en déduire que le zéro (valeur faux) est absorbant, comme en multiplication dans l'algèbre traditionnel.

Exemple

if (a>10 && a<20) printf("%d", a);

Les deux conditions doivent être réunies pour que l'instruction soit exécutée; si une seule (ou aucune des deux) condition est réunie, l'instruction n'est pas exécutée.
En langage c ce type d'opérateur est figuré par la suite de caractères suivante: &&.
Dans notre exemple, les valeurs de 11 à 19 réunissent les conditions pour l'impression vers le fichier de sortie standard (l'écran).

Propriétés

Soit t une tautologie et i une ineptie:

  1. p . p = p

  2. p . p = 0

  3. p . i = 0 (car p . 0 = 0)

  4. p . t = p (car p . 1 = p)

  5. p . q = q . p

  6. (p . q) . r = p . (q . r)

Démonstration de (p . q) . r = p . (q . r)

pqrp . q(p . q).rq . rp.(q . r)
0000000
0010000
0100000
0110010
1000000
1010000
1101000
1111111

En électricité

En électronique

Notation américaine:

Notation européenne:

 

OR: opérateur de disjonction

Notation

Soit p et q des propositions logiques, le OU inclusif se notera p + qou p v q.

Définition

p + q = vrai si p ou q = vrai.
p + q = faux <=> p et q = faux.

Table de vérité

pqp + q
000
011
101
111

Nous pouvons donc en déduire que le un (valeur vrai) est absorbant.

Exemple

if ((a>5) || (b>10)) instruction1;
else instruction2;

a = 6 et b = 11 => instruction1
a = 6
et b = 6 => instruction1
a = 4 et b = 6 => instruction2
a = 4 et b = 11 => instruction1

Propriétés

Soit 1 une tautologie et 0 une ineptie:

  1. p + p = p

  2. p + p = 1

  3. p + 1 = 1

  4. p + 0 = p

  5. p + q = q + p

  6. (p + q) + r = p + (q + r)

En électricité

En électronique

Notation américaine:

Notation européenne:

 

XOR: opérateur de disjonction

Notation

Soit p et q des propositions logiques, le OU exclusif se notera p XOR qou p v q.

Définition

Nous pouvons appeler XOR ou exclusif car il exclut le AND

p XOR q = p. q + p . q

p XOR q = (p. q) . pq

Table de vérité

pqp XOR q
000
011
101
110

Propriétés

Soit 1 une tautologie et 0 une ineptie:

  1. p XOR p = 0

  2. p XOR p= 1

  3. p XOR 1 = p

  4. p XOR 0 = p

  5. p XOR q = q XOR p

  6. (p XOR q) XOR r = p XOR (q XOR r)

En électronique

Notation américaine:

Notation européenne:

 

Opérateurs d'implication

Notation

Soit p et q des propositions logiques, l'équivalence se notera p => q.

Définition

L'expression "p implique q" revient à nier l'antécédent et ajouter le conséquent. La proposition "p" est l'antécédent, et la proposition "q" est le conséquent. p => q ⇔ p + q

Mais keskidit?

Nous pouvons dire que "p implique q" est faux seulement si "p" est vrai et que "q" est faux.

Table de vérité

pqp => qp+q
0011
0111
1000
1111

 

Opérateurs d'équivalence

Notation

Soit p et q des propositions logiques, l'équivalence se notera p ° q ou p ⇔ q.

Table de vérité

pqp <=> q
001
010
100
111

Exemple

p = "ce triangle est équilatéral"
q = "ce triangle a trois côtés égaux"

p <=> q

Propriétés

  1. (p <=> q) ⇔p. q+ p + q

  2. (p <=> q) ⇔p XOR q

  3. (p <=> q) ⇔(p => q) . (q => p)


Démonstration algébrique de (p <=> q) ⇔(p => q) . (q => p)

(p => q) . (q => p) ⇔(p+ q) . (q+ q)

p. q+ p. p + q . q+ q . p

p. q+ q . p ⇔(p <=> q) (cf. propriété1)

cqfd: (p => q) . (q => p) ⇔ (p <=> q)

 

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Notes

  1.  Notation de la négation : Normalement la lettre p doit s'afficher avec un trait au dessus. Cependant, il est possible que des problèmes d'affichage ne permettent pas de voir le trait.

 

Astuce pour imprimer les couleurs des cellules de tableaux : http://www.gaudry.be/ast-rf-450.html
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Document créé le 19/03/02 05:19, dernière modification le Vendredi 17 Juin 2011, 12:12
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St.Gaudry©07.01.02
 
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