Opérateurs logiques

NOT : opérateur de négation

Notation de l'opérateur NOT

Soit p une proposition logique, la négation de p se notera ¬p, ou ~p, ou p, ou NOT(p)[1].

Dans la mesure du possible, j'utiliserai la notation p; mais dans le cas par exemple d'une double négation, j'utiliserai la notation ¬¬p (simplement parce que je n'ai pas trouvé le moyen de surligner deux fois un caractère...).

Définition de l'opérateur NOT

p = vrai <=> p = faux

p = faux <=> p = vrai

Table de vérité de l'opérateur NOT

p | p |
0 | 1 |
1 | 0 |
p | p |

les valeurs sont purement et simplement inversées; nous pouvons parler de négation

Exemple de l'opérateur NOT

Soit la proposition (instruction) suivante:
if (a>b) printf("%d", a); else a++;

La négation ("!" en langage c) de la proposition donne:
if (!(a>b)) printf("%d",a); a++;

Remarques:

  • En modifiant l'ordre des instructions, la négation est annulée:
    if (!(a>b)) a++; else printf("%d", a);
  • Nous pouvons nier la proposition sans utiliser l'opérateur de négation:
    if (a>b) a++; else printf("%d", a); est égal à if (!(a>b)) printf("%d",a); a++;

Propriétés de l'opérateur NOT

Une double négation s'annule: ¬¬p = p.

Exemple: "if (!(!(a>b))) printf("%d",a); a++;" est égal à "if (a>b)printf("%d",a); a++;"

L'opérateur logique NOT en électricité

L'équivalent en électricité de l'opérateur logique de négation est l'inverseur.

L'opérateur logique NOT en électronique

Notation américaine:
NOT (Notation américaine)

Notation européenne:
NOT (Notation européenne)

Remarque

L'opérateur de négation porte sur une seule proposition, même si cette dernière peut être composée d'opérations, ou être très complexe.

 

AND : opérateur de conjonction

Notation de l'opérateur AND

Soit p et q des propositions logiques, leur conjonction se notera p ^ q, ou p . q (attention: il ne s'agit pas ici d'algèbre traditionnel).

Définition de l'opérateur AND

p . q = vrai <=> p = vrai ET q = vrai

Table de vérité de l'opérateur AND

p | q | p . q |
0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 |
p | q | p . q |

Nous pouvons donc en déduire que le zéro (valeur faux) est absorbant, comme en multiplication dans l'algèbre traditionnel.

Exemple de l'opérateur AND

if (a>10 && a<20) printf("%d", a);

Les deux conditions doivent être réunies pour que l'instruction soit exécutée; si une seule (ou aucune des deux) condition est réunie, l'instruction n'est pas exécutée.
En langage c ce type d'opérateur est figuré par la suite de caractères suivante: &&.
Dans notre exemple, les valeurs de 11 à 19 réunissent les conditions pour l'impression vers le fichier de sortie standard (l'écran).

Propriétés de l'opérateur AND

Soit 1 une tautologie et 0 une ineptie:

  1. p . p = p

  2. p . p = 0

  3. p . i = 0 (car p . 0 = 0)

  4. p . t = p (car p . 1 = p)

  5. p . q = q . p

  6. (p . q) . r = p . (q . r)

Démonstration de (p . q) . r = p . (q . r)

p | q | r | p . q | (p . q).r | q . r | p.(q . r) |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
p | q | r | p . q | (p . q).r | q . r | p.(q . r) |

L'opérateur logique AND en électricité

Circuit électrique AND

L'opérateur logique AND en électronique

Notation américaine:
AND (Notation américaine)

Notation européenne:
AND (Notation européenne)

 

OR : opérateur de disjonction

Notation de l'opérateur OR

Soit p et q des propositions logiques, le OU inclusif se notera p + q, ou p v q.

Définition de l'opérateur OR

p + q = vrai si p ou q = vrai.
p + q = faux <=> p et q = faux.

Table de vérité de l'opérateur OR

p | q | p + q |
0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 |
p | q | p + q |

Nous pouvons donc en déduire que le 1 (valeur vrai) est absorbant.

Exemple de l'opérateur OR

if ((a>5) || (b>10)) instruction1;
else instruction2;

a = 6 et b = 11 => instruction1
a = 6 et b = 6 => instruction1
a = 4 et b = 6 => instruction2
a = 4 et b = 11 => instruction1

Propriétés de l'opérateur OR

Soit 1 une tautologie et 0 une ineptie:

  1. p + p = p

  2. p + p = 1

  3. p + 1 = 1

  4. p + 0 = p

  5. p + q = q + p

  6. (p + q) + r = p + (q + r)

L'opérateur logique OR en électricité

Circuit électrique OR

L'opérateur logique OR en électronique

Notation américaine:
OR (Notation américaine)

Notation européenne:
OR (Notation européenne)

 

XOR : opérateur de disjonction

Notation de l'opérateur XOR

Soit p et q des propositions logiques, le OU exclusif se notera p q, ou p v q.

Définition de l'opérateur XOR

Nous pouvons appeler XOR ou exclusif car il exclut le AND

p q = p. q + p . q

p q = ¬(pq + ¬p¬q)

p q = (p + q) . ¬(pq)

p q = (p + q)(¬p + ¬q)

Table de vérité de l'opérateur XOR

p | q | p q |
0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 0 |
p | q | p q |

Propriétés de l'opérateur XOR

Soit 1 une tautologie et 0 une ineptie:

  1. p p = 0

  2. p p= 1

  3. p 1 = p

  4. p 0 = p

  5. p q = q p

  6. (p q) r = p (q r)

L'opérateur logique XOR en électronique

Notation américaine:
XOR (Notation américaine)

Notation européenne:
XOR (Notation européenne)

 

Opérateur d'implication

Notation de l'opérateur d'implication

Soit p et q des propositions logiques, l'équivalence se notera p => q.

Définition de l'opérateur d'implication

L'expression "p implique q" revient à nier l'antécédent et ajouter le conséquent. La proposition "p" est l'antécédent, et la proposition "q" est le conséquent. p => q ⇔ p + q

« Mais qu'est-ce qu'il dit? »

Nous pouvons dire que "p implique q" est faux seulement si "p" est vrai et que "q" est faux.

Table de vérité de l'opérateur d'implication

p | q | p => q | p+q |
0 | 0 | 1 | 1 |
0 | 1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 | 1 |
p | q | p => q | p+q |

 

Opérateur d'équivalence

Notation de l'opérateur d'équivalence

Soit p et q des propositions logiques, l'équivalence se notera p ° q, ou p ⇔ q.

Table de vérité de l'opérateur d'équivalence

p | q | p<=>q |
0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 |
p | q | p<=>q |

Exemple de l'opérateur d'équivalence

p = "ce triangle est équilatéral"
q = "ce triangle a trois côtés égaux"

p <=> q

Propriétés de l'opérateur d'équivalence

  1. (p <=> q) ⇔p. q+ p + q

  2. (p <=> q) ⇔p q

  3. (p <=> q) ⇔(p => q) . (q => p)

Démonstration algébrique de (p <=> q) ⇔(p => q) . (q => p)

(p => q) . (q => p) ⇔(p+ q) . (q+ q)

p. q+ p. p + q . q+ q . p

p. q+ q . p ⇔(p <=> q) (cf. propriété1)

cqfd: (p => q) . (q => p) ⇔ (p <=> q)

 

 

Document créé le 19/03/02 04:19, dernière modification le 07/07/17 13:32
Source du document imprimé : https://www.gaudry.be/logique-boole-operateurs.html

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Notes

  1.  Notation de la négation : Normalement la lettre p doit s'afficher avec un trait au dessus. Cependant, il est possible que des problèmes d'affichage ne permettent pas de voir le trait.