Opérateurs logiques

NOT : opérateur de négation

Notation de l'opérateur NOT

Soit p une proposition logique, la négation de p se notera ¬p, ou ~p, ou p, ou NOT(p)1.

Dans la mesure du possible, j'utiliserai la notation p; mais dans le cas par exemple d'une double négation, j'utiliserai la notation ¬¬p (simplement parce que je n'ai pas trouvé le moyen de surligner deux fois un caractère...).

Définition de l'opérateur NOT

p = vrai <=> p = faux

p = faux <=> p = vrai

Table de vérité de l'opérateur NOT

p | p |
0 | 1 |
1 | 0 |
p | p |

les valeurs sont purement et simplement inversées; nous pouvons parler de négation

Exemple de l'opérateur NOT

Soit la proposition (instruction) suivante:
if (a>b) printf("%d", a); else a++;

La négation ("!" en langage c) de la proposition donne:
if (!(a>b)) printf("%d",a); a++;

Remarques:

  • En modifiant l'ordre des instructions, la négation est annulée:
    if (!(a>b)) a++; else printf("%d", a);
  • Nous pouvons nier la proposition sans utiliser l'opérateur de négation:
    if (a>b) a++; else printf("%d", a); est égal à if (!(a>b)) printf("%d",a); a++;

Propriétés de l'opérateur NOT

Une double négation s'annule: ¬¬p = p.

Exemple: "if (!(!(a>b))) printf("%d",a); a++;" est égal à "if (a>b)printf("%d",a); a++;"

L'opérateur logique NOT en électricité

L'équivalent en électricité de l'opérateur logique de négation est l'inverseur.

L'opérateur logique NOT en électronique

Notation américaine:
NOT (Notation américaine)

Notation européenne:
NOT (Notation européenne)

Remarque

L'opérateur de négation porte sur une seule proposition, même si cette dernière peut être composée d'opérations, ou être très complexe.

Contents Haut

AND : opérateur de conjonction

Notation de l'opérateur AND

Soit p et q des propositions logiques, leur conjonction se notera p ^ q, ou p . q (attention: il ne s'agit pas ici d'algèbre traditionnel).

Définition de l'opérateur AND

p . q = vrai <=> p = vrai ET q = vrai

Table de vérité de l'opérateur AND

p | q | p . q |
0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 |
p | q | p . q |

Nous pouvons donc en déduire que le zéro (valeur faux) est absorbant, comme en multiplication dans l'algèbre traditionnel.

Exemple de l'opérateur AND

if (a>10 && a<20) printf("%d", a);

Les deux conditions doivent être réunies pour que l'instruction soit exécutée; si une seule (ou aucune des deux) condition est réunie, l'instruction n'est pas exécutée.
En langage c ce type d'opérateur est figuré par la suite de caractères suivante: &&.
Dans notre exemple, les valeurs de 11 à 19 réunissent les conditions pour l'impression vers le fichier de sortie standard (l'écran).

Propriétés de l'opérateur AND

Soit 1 une tautologie et 0 une ineptie:

  1. p . p = p

  2. p . p = 0

  3. p . i = 0 (car p . 0 = 0)

  4. p . t = p (car p . 1 = p)

  5. p . q = q . p

  6. (p . q) . r = p . (q . r)

Démonstration de (p . q) . r = p . (q . r)

p | q | r | p . q | (p . q).r | q . r | p.(q . r) |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
p | q | r | p . q | (p . q).r | q . r | p.(q . r) |

L'opérateur logique AND en électricité

Circuit électrique AND

L'opérateur logique AND en électronique

Notation américaine:
AND (Notation américaine)

Notation européenne:
AND (Notation européenne)

Contents Haut

OR : opérateur de disjonction

Notation de l'opérateur OR

Soit p et q des propositions logiques, le OU inclusif se notera p + q, ou p v q.

Définition de l'opérateur OR

p + q = vrai si p ou q = vrai.
p + q = faux <=> p et q = faux.

Table de vérité de l'opérateur OR

p | q | p + q |
0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 |
p | q | p + q |

Nous pouvons donc en déduire que le 1 (valeur vrai) est absorbant.

Exemple de l'opérateur OR

if ((a>5) || (b>10)) instruction1;
else instruction2;

a = 6 et b = 11 => instruction1
a = 6 et b = 6 => instruction1
a = 4 et b = 6 => instruction2
a = 4 et b = 11 => instruction1

Propriétés de l'opérateur OR

Soit 1 une tautologie et 0 une ineptie:

  1. p + p = p

  2. p + p = 1

  3. p + 1 = 1

  4. p + 0 = p

  5. p + q = q + p

  6. (p + q) + r = p + (q + r)

L'opérateur logique OR en électricité

Circuit électrique OR

L'opérateur logique OR en électronique

Notation américaine:
OR (Notation américaine)

Notation européenne:
OR (Notation européenne)

Contents Haut

XOR : opérateur de disjonction

Notation de l'opérateur XOR

Soit p et q des propositions logiques, le OU exclusif se notera p q, ou p v q.

Définition de l'opérateur XOR

Nous pouvons appeler XOR ou exclusif car il exclut le AND

p q = p. q + p . q

p q = ¬(pq + ¬p¬q)

p q = (p + q) . ¬(pq)

p q = (p + q)(¬p + ¬q)

Table de vérité de l'opérateur XOR

p | q | p q |
0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 0 |
p | q | p q |

Propriétés de l'opérateur XOR

Soit 1 une tautologie et 0 une ineptie:

  1. p p = 0

  2. p p= 1

  3. p 1 = p

  4. p 0 = p

  5. p q = q p

  6. (p q) r = p (q r)

L'opérateur logique XOR en électronique

Notation américaine:
XOR (Notation américaine)

Notation européenne:
XOR (Notation européenne)

Contents Haut

Opérateur d'implication

Notation de l'opérateur d'implication

Soit p et q des propositions logiques, l'équivalence se notera p => q.

Définition de l'opérateur d'implication

L'expression "p implique q" revient à nier l'antécédent et ajouter le conséquent. La proposition "p" est l'antécédent, et la proposition "q" est le conséquent. p => q ⇔ p + q

« Mais qu'est-ce qu'il dit? »

Nous pouvons dire que "p implique q" est faux seulement si "p" est vrai et que "q" est faux.

Table de vérité de l'opérateur d'implication

p | q | p => q | p+q |
0 | 0 | 1 | 1 |
0 | 1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 | 1 |
p | q | p => q | p+q |

Contents Haut

Opérateur d'équivalence

Notation de l'opérateur d'équivalence

Soit p et q des propositions logiques, l'équivalence se notera p ° q, ou p ⇔ q.

Table de vérité de l'opérateur d'équivalence

p | q | p<=>q |
0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 |
p | q | p<=>q |

Exemple de l'opérateur d'équivalence

p = "ce triangle est équilatéral"
q = "ce triangle a trois côtés égaux"

p <=> q

Propriétés de l'opérateur d'équivalence

  1. (p <=> q) ⇔p. q+ p + q

  2. (p <=> q) ⇔p q

  3. (p <=> q) ⇔(p => q) . (q => p)

Démonstration algébrique de (p <=> q) ⇔(p => q) . (q => p)

(p => q) . (q => p) ⇔(p+ q) . (q+ q)

p. q+ p. p + q . q+ q . p

p. q+ q . p ⇔(p <=> q) (cf. propriété1)

cqfd: (p => q) . (q => p) ⇔ (p <=> q)

Contents Haut

Contents Haut

English translation

You have asked to visit this site in English. For now, only the interface is translated, but not all the content yet.

If you want to help me in translations, your contribution is welcome. All you need to do is register on the site, and send me a message asking me to add you to the group of translators, which will give you the opportunity to translate the pages you want. A link at the bottom of each translated page indicates that you are the translator, and has a link to your profile.

Thank you in advance.

Document created the 19/03/2002, last modified the 26/10/2018
Source of the printed document:https://www.gaudry.be/en/logique-boole-operateurs.html

The infobrol is a personal site whose content is my sole responsibility. The text is available under CreativeCommons license (BY-NC-SA). More info on the terms of use and the author.

Notes

  1.  Notation de la négation : Normalement la lettre p doit s'afficher avec un trait au dessus. Cependant, il est possible que des problèmes d'affichage ne permettent pas de voir le trait.

Contents Haut