Graphes : matrice d'adjacence

Sommaire du document

Introduction

Nous utiliserons dans les exemples la notation définie lors de l'introduction aux graphes.

Principe de la matrice d'adjacence

Graphes: matrice d'adjacence

Nous pouvons représenter notre graphe G(X,A) sous la forme d'une matrice carrée de taille n*n. La ligne correspond au sommet de départ, et la colonne au sommet d'arrivée.

Ensuite, nous pouvons placer dans chaque case de notre matrice la valeur 0 ou 1 selon que le couple formé par l'indice de ligne et l'indice de colonne corresponde ou pas à un ensemble de A (en clair, 1 si l'arc existe dans le graphe). Ceci peut se traduire par la formule suivante : Aij = 0 si (xi,xj)∉A, 1 si (xi,xj)∈A

Dans le cas d'un graphe non-orienté, notre matrice d'adjacence sera donc symétrique (xij=xji).

Nous pouvons trouver au maximum n! matrices d'adjacence pour notre graphe, selon l'ordre dans lequel nous considérons les sommets.

Algorithme de la matrice d'adjacence

Soient les matrices M, A, et B implémentées sous formes de tableaux de tableaux :

  1. M[i,j] := 0;
  2. M[i,j] := M[i,j] ;⊕ A[i,k] ;⊗ B[k,j];

Ce genre d'algorithme effectue le plus souvent le plus souvent le calcul suivant 0*0. Les deux boucles extérieures sont indispensables, mais nous pouvons par contre remplacer la boucle intérieure par les pointeurs d'arcs si ces derniers sont disponibles.

 

Matrice de poids des arcs

Matrice de poids des arcs

Si nous travaillons avec un graphe valué, au lieu de placer la valeur 1 quand un arc est présent, nous allons placer le poids (la valeur) de cet arc dans la case appropriée de la matrice.

Attention que dans ce cas, nous ne pouvons plus placer la valeur 0 pour signaler un arc inexistant, car cela représenterait un arc existant, de poids 0. Nous allons donc choisir arbitrairement une valeur non utilisée (par exemple -1 si nous avons la certitude que toutes nos valeurs sont positives).

 

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Références

  1. livre Langue du document: fr INFOB321 - Théorie des graphes : JP Leclercq, Cours de Théorie des Graphes et réseaux de Petri (Septembre 2008)

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Document créé le 11/11/09 17:25, dernière modification le Vendredi 17 Juin 2011, 12:12
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