Exemple d'algorithme DFS

Sommaire du document

Légende & situation

Légende DFSGraphe de départ

Graphe de départ. Ce graphe est celui que nous avons utilisé lorsque nous avons vu l'algorithme DFS, mais ici les étiquettes des sommets portent des lettres aléatoires au lieu de chiffres afin d'éviter toute confusion.

[Étape 0-0]  Initialisation des valeurs

DFS, image 0-0

Nous utilisons ici les mémes variables que lors des explications sur l'algorithme DFS, mais comme la place manquait sur les images, une seule lettre sera utilisée pour les variables :

  • Tableaux 
    • X représente l'ensemble des sommets du graphe.
      La première colonne de l'illustration ci-dessus représente les indices dans X, et la deuxième colonne représente les sommets à ces indices dans X.
    • V (visitedVertices) représente le tableau de booléens qui permet de savoir si un sommet à déjà été visité ou pas.
    • F (closedVertices) représente le tableau de booléens qui permet de savoir si un sommet est fermé ou pas.
    • P (previousVertices) représente le tableau qui permet de retrouver le sommet précédent par lequel ce sommet à été découvert.
    • N (verticesOrders) représente le tableau qui permet de retrouver l'ordre d'exploration des sommets.
  • Variables scalaires 
    • k est le compteur qui permet de donner un numéro d'ordre d'exploration aux sommets.
    • i et j sont les compteurs utilisé lors des itérations.

Comme nous démarrons avec le sommet R, nous le considérons comme visité (voir colonne V), et son numéro d'ordre d'exploration est 1.

[Étape 1-0]  Découverte du sommet E

DFS, image 1-0

Nous sommes dans la boucle si ∃ y : (x,y) ∈ A ∧ visitedVertices[j]=false

L'exploration DFS découvre le sommet E. Nous affectons la valeur 1 (indice du sommet E dans le tableau X) à la variable j

visitedVertices[j] := true; devient visitedVertices[1] := true; afin de marquer le sommet E comme "visité".

 

[Étape 1-1]  Incrémentation du compteur k (2)

DFS, image 1-1

k := k+1; devient k := 1+1;.

Nous devons incrémenter le compteur k (ordre d'exploration) qui possède donc à présent la valeur 2 car un nouveau sommet (E) a été découvert.

[Étape 1-2]  Affectation du numéro d'exploration 2

DFS, image 1-2

verticesOrders[j] := k; devient verticesOrders[1] := 2;

Nous utilisons la valeur du compteur k (2) pour affecter au sommet E son ordre d'exploration dans le tableau N à l'indice 1.

[Étape 1-3]  Affectation du précédent pour E

DFS, image 1-3

previousVertices[j] := i; devient previousVertices[1] := 0;

Nous affectons pour le tableau P à l'indice 1 l'indice du sommet précédent. C'est depuis ce sommet que E a été découvert.

[Étape 1-4]  i := j

DFS, image 1-4

i := j; devient i := 1;.

Comme nous allons continuer notre exploration, nous devons nous souvenir du chemin emprunté.

Cela est possible en affectant la valeur de j (1) à la variable i (anciennement 0).

[Étape 2-0]  Découverte du sommet A

DFS, image 2-0

Nous sommes dans la boucle si ∃ y : (x,y) ∈ A ∧ visitedVertices[j]=false

L'exploration DFS découvre le sommet A. Nous affectons la valeur 5 (indice du sommet A dans le tableau X) à la variable j

visitedVertices[j] := true; devient visitedVertices[5] := true; afin de marquer le sommet A comme "visité".

 

[Étape 2-1]  Incrémentation du compteur k (3)

DFS, image 2-1

k := k+1; devient k := 2+1;.

Nous devons incrémenter le compteur k (ordre d'exploration) qui possède donc à présent la valeur 3 car un nouveau sommet (A) a été découvert.

[Étape 2-2]  Affectation du numéro d'exploration 3

DFS, image 2-2

verticesOrders[j] := k; devient verticesOrders[5] := 3;

Nous utilisons la valeur du compteur k (3) pour affecter au sommet A son ordre d'exploration dans le tableau N à l'indice 5.

[Étape 2-3]  Affectation du précédent pour A

DFS, image 2-3

previousVertices[j] := i; devient previousVertices[5] := 1;

Nous affectons pour le tableau P à l'indice 5 l'indice du sommet précédent. C'est depuis ce sommet que A a été découvert.

[Étape 2-4]  i := j

DFS, image 2-4

i := j; devient i := 5;.

Comme nous allons continuer notre exploration, nous devons nous souvenir du chemin emprunté.

Cela est possible en affectant la valeur de j (5) à la variable i (anciennement 1).

[Étape 3-0]  Découverte du sommet L

DFS, image 3-0

Nous sommes dans la boucle si ∃ y : (x,y) ∈ A ∧ visitedVertices[j]=false

L'exploration DFS découvre le sommet L. Nous affectons la valeur 2 (indice du sommet L dans le tableau X) à la variable j

visitedVertices[j] := true; devient visitedVertices[2] := true; afin de marquer le sommet L comme "visité".

 

[Étape 3-1]  Incrémentation du compteur k (4)

DFS, image 3-1

k := k+1; devient k := 3+1;.

Nous devons incrémenter le compteur k (ordre d'exploration) qui possède donc à présent la valeur 4 car un nouveau sommet (L) a été découvert.

[Étape 3-2]  Affectation du numéro d'exploration 4

DFS, image 3-2

verticesOrders[j] := k; devient verticesOrders[2] := 4;

Nous utilisons la valeur du compteur k (4) pour affecter au sommet L son ordre d'exploration dans le tableau N à l'indice 2.

[Étape 3-3]  Affectation du précédent pour L

DFS, image 3-3

previousVertices[j] := i; devient previousVertices[2] := 5;

Nous affectons pour le tableau P à l'indice 2 l'indice du sommet précédent. C'est depuis ce sommet que L a été découvert.

[Étape 3-4]  i := j

DFS, image 3-4

i := j; devient i := 2;.

Comme nous allons continuer notre exploration, nous devons nous souvenir du chemin emprunté.

Cela est possible en affectant la valeur de j (2) à la variable i (anciennement 5).

[Étape 4-0]  Fermeture du sommet L

DFS, image 4-0

si ∃ y : (x,y) ∈ A ∧ visitedVertices[j]=false

Ce test de boucle échoue car il ne reste plus de sommet non visité qui soit suivant de L. Nous devons donc "fermer" ce dernier en affectant la valeur true dans le tableau F à l'indice 2.

closedVertices[i] := true; devient closedVertices[2] := true;

 

[Étape 5-0]  Backtrack depuis le sommet L vers A

DFS, image 5-0

La variable i a été modifiée, et nous sommes entrés une nouvelle fois dans la boucle tant_que i > -1 faire...

La condition si closedVertices[2] = false, alors n'est pas respectée, le sommet courant (L) est fermé (valeur true dans le tableau F à l'indice 2), nous affectons à i la valeur du sommet précédent de L (A à l'indice 5)

i := previousVertices[i] devient i := 5

 

[Étape 6-0]  Fermeture du sommet A

DFS, image 6-0

si ∃ y : (x,y) ∈ A ∧ visitedVertices[j]=false

Ce test de boucle échoue car il ne reste plus de sommet non visité qui soit suivant de A. Nous devons donc "fermer" ce dernier en affectant la valeur true dans le tableau F à l'indice 5.

closedVertices[i] := true; devient closedVertices[5] := true;

 

[Étape 7-0]  Backtrack depuis le sommet A vers E

DFS, image 7-0

La variable i a été modifiée, et nous sommes entrés une nouvelle fois dans la boucle tant_que i > -1 faire...

La condition si closedVertices[5] = false, alors n'est pas respectée, le sommet courant (A) est fermé (valeur true dans le tableau F à l'indice 5), nous affectons à i la valeur du sommet précédent de A (E à l'indice 1)

i := previousVertices[i] devient i := 1

 

[Étape 8-0]  Découverte du sommet M

DFS, image 8-0

Nous sommes dans la boucle si ∃ y : (x,y) ∈ A ∧ visitedVertices[j]=false

L'exploration DFS découvre le sommet M. Nous affectons la valeur 7 (indice du sommet M dans le tableau X) à la variable j

visitedVertices[j] := true; devient visitedVertices[7] := true; afin de marquer le sommet M comme "visité".

 

[Étape 8-1]  Incrémentation du compteur k (5)

DFS, image 8-1

k := k+1; devient k := 4+1;.

Nous devons incrémenter le compteur k (ordre d'exploration) qui possède donc à présent la valeur 5 car un nouveau sommet (M) a été découvert.

[Étape 8-2]  Affectation du numéro d'exploration 5

DFS, image 8-2

verticesOrders[j] := k; devient verticesOrders[7] := 5;

Nous utilisons la valeur du compteur k (5) pour affecter au sommet M son ordre d'exploration dans le tableau N à l'indice 7.

[Étape 8-3]  Affectation du précédent pour M

DFS, image 8-3

previousVertices[j] := i; devient previousVertices[7] := 1;

Nous affectons pour le tableau P à l'indice 7 l'indice du sommet précédent. C'est depuis ce sommet que M a été découvert.

[Étape 8-4]  i := j

DFS, image 8-4

i := j; devient i := 7;.

Comme nous allons continuer notre exploration, nous devons nous souvenir du chemin emprunté.

Cela est possible en affectant la valeur de j (7) à la variable i (anciennement 1).

[Étape 9-0]  Découverte du sommet B

DFS, image 9-0

Nous sommes dans la boucle si ∃ y : (x,y) ∈ A ∧ visitedVertices[j]=false

L'exploration DFS découvre le sommet B. Nous affectons la valeur 8 (indice du sommet B dans le tableau X) à la variable j

visitedVertices[j] := true; devient visitedVertices[8] := true; afin de marquer le sommet B comme "visité".

 

[Étape 9-1]  Incrémentation du compteur k (6)

DFS, image 9-1

k := k+1; devient k := 5+1;.

Nous devons incrémenter le compteur k (ordre d'exploration) qui possède donc à présent la valeur 6 car un nouveau sommet (B) a été découvert.

[Étape 9-2]  Affectation du numéro d'exploration 6

DFS, image 9-2

verticesOrders[j] := k; devient verticesOrders[8] := 6;

Nous utilisons la valeur du compteur k (6) pour affecter au sommet B son ordre d'exploration dans le tableau N à l'indice 8.

[Étape 9-3]  Affectation du précédent pour B

DFS, image 9-3

previousVertices[j] := i; devient previousVertices[8] := 7;

Nous affectons pour le tableau P à l'indice 8 l'indice du sommet précédent. C'est depuis ce sommet que B a été découvert.

[Étape 9-4]  i := j

DFS, image 9-4

i := j; devient i := 8;.

Comme nous allons continuer notre exploration, nous devons nous souvenir du chemin emprunté.

Cela est possible en affectant la valeur de j (8) à la variable i (anciennement 7).

[Étape 10-0]  Fermeture du sommet B

DFS, image 10-0

si ∃ y : (x,y) ∈ A ∧ visitedVertices[j]=false

Ce test de boucle échoue car il ne reste plus de sommet non visité qui soit suivant de B. Nous devons donc "fermer" ce dernier en affectant la valeur true dans le tableau F à l'indice 8.

closedVertices[i] := true; devient closedVertices[8] := true;

 

[Étape 11-0]  Backtrack depuis le sommet B vers M

DFS, image 11-0

La variable i a été modifiée, et nous sommes entrés une nouvelle fois dans la boucle tant_que i > -1 faire...

La condition si closedVertices[8] = false, alors n'est pas respectée, le sommet courant (B) est fermé (valeur true dans le tableau F à l'indice 8), nous affectons à i la valeur du sommet précédent de B (M à l'indice 7)

i := previousVertices[i] devient i := 7

 

[Étape 12-0]  Découverte du sommet K

DFS, image 12-0

Nous sommes dans la boucle si ∃ y : (x,y) ∈ A ∧ visitedVertices[j]=false

L'exploration DFS découvre le sommet K. Nous affectons la valeur 9 (indice du sommet K dans le tableau X) à la variable j

visitedVertices[j] := true; devient visitedVertices[9] := true; afin de marquer le sommet K comme "visité".

 

[Étape 12-1]  Incrémentation du compteur k (7)

DFS, image 12-1

k := k+1; devient k := 6+1;.

Nous devons incrémenter le compteur k (ordre d'exploration) qui possède donc à présent la valeur 7 car un nouveau sommet (K) a été découvert.

[Étape 12-2]  Affectation du numéro d'exploration 7

DFS, image 12-2

verticesOrders[j] := k; devient verticesOrders[9] := 7;

Nous utilisons la valeur du compteur k (7) pour affecter au sommet K son ordre d'exploration dans le tableau N à l'indice 9.

[Étape 12-3]  Affectation du précédent pour K

DFS, image 12-3

previousVertices[j] := i; devient previousVertices[9] := 7;

Nous affectons pour le tableau P à l'indice 9 l'indice du sommet précédent. C'est depuis ce sommet que K a été découvert.

[Étape 12-4]  i := j

DFS, image 12-4

i := j; devient i := 9;.

Comme nous allons continuer notre exploration, nous devons nous souvenir du chemin emprunté.

Cela est possible en affectant la valeur de j (9) à la variable i (anciennement 7).

[Étape 13-0]  Fermeture du sommet K

DFS, image 13-0

si ∃ y : (x,y) ∈ A ∧ visitedVertices[j]=false

Ce test de boucle échoue car il ne reste plus de sommet non visité qui soit suivant de K. Nous devons donc "fermer" ce dernier en affectant la valeur true dans le tableau F à l'indice 9.

closedVertices[i] := true; devient closedVertices[9] := true;

 

[Étape 14-0]  Backtrack depuis le sommet K vers M

DFS, image 14-0

La variable i a été modifiée, et nous sommes entrés une nouvelle fois dans la boucle tant_que i > -1 faire...

La condition si closedVertices[9] = false, alors n'est pas respectée, le sommet courant (K) est fermé (valeur true dans le tableau F à l'indice 9), nous affectons à i la valeur du sommet précédent de K (M à l'indice 7)

i := previousVertices[i] devient i := 7

 

[Étape 15-0]  Fermeture du sommet M

DFS, image 15-0

si ∃ y : (x,y) ∈ A ∧ visitedVertices[j]=false

Ce test de boucle échoue car il ne reste plus de sommet non visité qui soit suivant de M. Nous devons donc "fermer" ce dernier en affectant la valeur true dans le tableau F à l'indice 7.

closedVertices[i] := true; devient closedVertices[7] := true;

 

[Étape 16-0]  Backtrack depuis le sommet M vers E

DFS, image 16-0

La variable i a été modifiée, et nous sommes entrés une nouvelle fois dans la boucle tant_que i > -1 faire...

La condition si closedVertices[7] = false, alors n'est pas respectée, le sommet courant (M) est fermé (valeur true dans le tableau F à l'indice 7), nous affectons à i la valeur du sommet précédent de M (E à l'indice 1)

i := previousVertices[i] devient i := 1

 

[Étape 17-0]  Fermeture du sommet E

DFS, image 17-0

si ∃ y : (x,y) ∈ A ∧ visitedVertices[j]=false

Ce test de boucle échoue car il ne reste plus de sommet non visité qui soit suivant de E. Nous devons donc "fermer" ce dernier en affectant la valeur true dans le tableau F à l'indice 1.

closedVertices[i] := true; devient closedVertices[1] := true;

 

[Étape 18-0]  Backtrack depuis le sommet E vers R

DFS, image 18-0

La variable i a été modifiée, et nous sommes entrés une nouvelle fois dans la boucle tant_que i > -1 faire...

La condition si closedVertices[1] = false, alors n'est pas respectée, le sommet courant (E) est fermé (valeur true dans le tableau F à l'indice 1), nous affectons à i la valeur du sommet précédent de E (R à l'indice 0)

i := previousVertices[i] devient i := 0

 

[Étape 19-0]  Découverte du sommet C

DFS, image 19-0

Nous sommes dans la boucle si ∃ y : (x,y) ∈ A ∧ visitedVertices[j]=false

L'exploration DFS découvre le sommet C. Nous affectons la valeur 3 (indice du sommet C dans le tableau X) à la variable j

visitedVertices[j] := true; devient visitedVertices[3] := true; afin de marquer le sommet C comme "visité".

 

[Étape 19-1]  Incrémentation du compteur k (8)

DFS, image 19-1

k := k+1; devient k := 7+1;.

Nous devons incrémenter le compteur k (ordre d'exploration) qui possède donc à présent la valeur 8 car un nouveau sommet (C) a été découvert.

[Étape 19-2]  Affectation du numéro d'exploration 8

DFS, image 19-2

verticesOrders[j] := k; devient verticesOrders[3] := 8;

Nous utilisons la valeur du compteur k (8) pour affecter au sommet C son ordre d'exploration dans le tableau N à l'indice 3.

[Étape 19-3]  Affectation du précédent pour C

DFS, image 19-3

previousVertices[j] := i; devient previousVertices[3] := 0;

Nous affectons pour le tableau P à l'indice 3 l'indice du sommet précédent. C'est depuis ce sommet que C a été découvert.

[Étape 19-4]  i := j

DFS, image 19-4

i := j; devient i := 3;.

Comme nous allons continuer notre exploration, nous devons nous souvenir du chemin emprunté.

Cela est possible en affectant la valeur de j (3) à la variable i (anciennement 0).

[Étape 20-0]  Découverte du sommet S

DFS, image 20-0

Nous sommes dans la boucle si ∃ y : (x,y) ∈ A ∧ visitedVertices[j]=false

L'exploration DFS découvre le sommet S. Nous affectons la valeur 6 (indice du sommet S dans le tableau X) à la variable j

visitedVertices[j] := true; devient visitedVertices[6] := true; afin de marquer le sommet S comme "visité".

 

[Étape 20-1]  Incrémentation du compteur k (9)

DFS, image 20-1

k := k+1; devient k := 8+1;.

Nous devons incrémenter le compteur k (ordre d'exploration) qui possède donc à présent la valeur 9 car un nouveau sommet (S) a été découvert.

[Étape 20-2]  Affectation du numéro d'exploration 9

DFS, image 20-2

verticesOrders[j] := k; devient verticesOrders[6] := 9;

Nous utilisons la valeur du compteur k (9) pour affecter au sommet S son ordre d'exploration dans le tableau N à l'indice 6.

[Étape 20-3]  Affectation du précédent pour S

DFS, image 20-3

previousVertices[j] := i; devient previousVertices[6] := 3;

Nous affectons pour le tableau P à l'indice 6 l'indice du sommet précédent. C'est depuis ce sommet que S a été découvert.

[Étape 20-4]  i := j

DFS, image 20-4

i := j; devient i := 6;.

Comme nous allons continuer notre exploration, nous devons nous souvenir du chemin emprunté.

Cela est possible en affectant la valeur de j (6) à la variable i (anciennement 3).

[Étape 21-0]  Fermeture du sommet S

DFS, image 21-0

si ∃ y : (x,y) ∈ A ∧ visitedVertices[j]=false

Ce test de boucle échoue car il ne reste plus de sommet non visité qui soit suivant de S. Nous devons donc "fermer" ce dernier en affectant la valeur true dans le tableau F à l'indice 6.

closedVertices[i] := true; devient closedVertices[6] := true;

 

[Étape 22-0]  Backtrack depuis le sommet S vers C

DFS, image 22-0

La variable i a été modifiée, et nous sommes entrés une nouvelle fois dans la boucle tant_que i > -1 faire...

La condition si closedVertices[6] = false, alors n'est pas respectée, le sommet courant (S) est fermé (valeur true dans le tableau F à l'indice 6), nous affectons à i la valeur du sommet précédent de S (C à l'indice 3)

i := previousVertices[i] devient i := 3

 

[Étape 23-0]  Fermeture du sommet C

DFS, image 23-0

si ∃ y : (x,y) ∈ A ∧ visitedVertices[j]=false

Ce test de boucle échoue car il ne reste plus de sommet non visité qui soit suivant de C. Nous devons donc "fermer" ce dernier en affectant la valeur true dans le tableau F à l'indice 3.

closedVertices[i] := true; devient closedVertices[3] := true;

 

[Étape 24-0]  Backtrack depuis le sommet C vers R

DFS, image 24-0

La variable i a été modifiée, et nous sommes entrés une nouvelle fois dans la boucle tant_que i > -1 faire...

La condition si closedVertices[3] = false, alors n'est pas respectée, le sommet courant (C) est fermé (valeur true dans le tableau F à l'indice 3), nous affectons à i la valeur du sommet précédent de C (R à l'indice 0)

i := previousVertices[i] devient i := 0

 

[Étape 25-0]  Découverte du sommet Z

DFS, image 25-0

Nous sommes dans la boucle si ∃ y : (x,y) ∈ A ∧ visitedVertices[j]=false

L'exploration DFS découvre le sommet Z. Nous affectons la valeur 4 (indice du sommet Z dans le tableau X) à la variable j

visitedVertices[j] := true; devient visitedVertices[4] := true; afin de marquer le sommet Z comme "visité".

 

[Étape 25-1]  Incrémentation du compteur k (10)

DFS, image 25-1

k := k+1; devient k := 9+1;.

Nous devons incrémenter le compteur k (ordre d'exploration) qui possède donc à présent la valeur 10 car un nouveau sommet (Z) a été découvert.

[Étape 25-2]  Affectation du numéro d'exploration 10

DFS, image 25-2

verticesOrders[j] := k; devient verticesOrders[4] := 10;

Nous utilisons la valeur du compteur k (10) pour affecter au sommet Z son ordre d'exploration dans le tableau N à l'indice 4.

[Étape 25-3]  Affectation du précédent pour Z

DFS, image 25-3

previousVertices[j] := i; devient previousVertices[4] := 0;

Nous affectons pour le tableau P à l'indice 4 l'indice du sommet précédent. C'est depuis ce sommet que Z a été découvert.

[Étape 25-4]  i := j

DFS, image 25-4

i := j; devient i := 4;.

Comme nous allons continuer notre exploration, nous devons nous souvenir du chemin emprunté.

Cela est possible en affectant la valeur de j (4) à la variable i (anciennement 0).

[Étape 26-0]  Fermeture du sommet Z

DFS, image 26-0

si ∃ y : (x,y) ∈ A ∧ visitedVertices[j]=false

Ce test de boucle échoue car il ne reste plus de sommet non visité qui soit suivant de Z. Nous devons donc "fermer" ce dernier en affectant la valeur true dans le tableau F à l'indice 4.

closedVertices[i] := true; devient closedVertices[4] := true;

 

[Étape 27-0]  Backtrack depuis le sommet Z vers R

DFS, image 27-0

La variable i a été modifiée, et nous sommes entrés une nouvelle fois dans la boucle tant_que i > -1 faire...

La condition si closedVertices[4] = false, alors n'est pas respectée, le sommet courant (Z) est fermé (valeur true dans le tableau F à l'indice 4), nous affectons à i la valeur du sommet précédent de Z (R à l'indice 0)

i := previousVertices[i] devient i := 0

 

[Étape 28-0]  Fermeture du sommet R

DFS, image 28-0

si ∃ y : (x,y) ∈ A ∧ visitedVertices[j]=false

Ce test de boucle échoue car il ne reste plus de sommet non visité qui soit suivant de R. Nous devons donc "fermer" ce dernier en affectant la valeur true dans le tableau F à l'indice 0.

closedVertices[i] := true; devient closedVertices[0] := true;

 

[Étape 29-0]  Non-respect de la condition de boucle

DFS, image 29-0

L'algorithme prend effectivement fin avant d'entrer dans la boucle tant_que i > -1 faire..., car la condition n'est pas respectée :-1 (indice du précédent de R) n'est pas > que -1 (nous testons avec le plus petit index du tableau moins un, donc -1 dans le cas d'un langage pour lequel le premier indice d'un tableau est 0).

Ordre d'exploration DFS

Graphes : Parcours DFS

 

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22 mots clés dont 13 définis manuellement (plus d'information...).

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Références

  1. Consulter le document html Langue du document: fr DFS : lien interne, L'algorithme DFS en détails

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Document créé le 23/12/09 20:39, dernière modification le Mercredi 28 Juin 2017, 15:26
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