Niveaux des graphes

La décomposition en niveaux nous fournit un ordre topologique pour le graphe, puisque nous pouvons considérer les sommets "de haut en bas" (comparer les niveaux des sommets).

La décomposition en niveaux n'est possible que si le graphe ne possède pas de circuit.
Cela peut se démontrer de la manière suivante :

  • soient x et y deux sommets d'un mê;me circuit, avec les arcs (x,y) et  (y,x)
  • Selon l'arc (x,y), nous définissons le niveau de x à 0[1] et le niveau de y à 1.
  • Ensuite, selon l'arc (y,x), le niveau de y doit être inférieur au niveau de x, mais ces niveaux ont déjà été définis, et 1 < 0 est faux.

Algorithme de décomposition en niveaux

//initialisation
;: level[x] ;:= -1;
;: deg[x] ;:= degré; inté;rieur de x;
;:= 0;
//décomposition possible
decomp ;:= true;

//exécution
tant_que  ;;: level[x] = -1 decomp faire

  decomp ;:=false;

  // ∀ sommet non traité
  ;: deg[x] = 0 level[x] = -1 faire

    // positionner x sur le niveau courant
    level[x] ;:= k;

    // poursuivre la décomposition
    decomp ;:= true;

  fin

  // ∀ sommet de ce niveau
  ;: level[x] = k faire

    // ∀ sommet y incident au sommet x
    // rappel : A est l'ensemble des arcs
    ;: (x,y) ;∈ A

      // retirer le sommet car il est traité
      // => diminuer le degré intérieur
      deg[y] ;:= deg[y]-1;

    fin

    // changer de niveau
    k ;:= k+1;

  fin

fin tant_que

Complexité

La complexité de l'algorithme de décomposition en niveaux est de Ordre de grandeur(n2), bien que les deux imbriqués laissent présumer une complexité de Ordre de grandeur(n3).

 

Document créé le 03/01/10 19:41, dernière modification le 22/08/17 14:49
Source du document imprimé : https://www.gaudry.be/graphes-decomposition-niveaux.html

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Notes

  1.  Numérotation des niveaux : La numérotation des niveaux débute à zéro.

 

Références

  1. livre Langue du document: fr Cours de Théorie des Graphes et réseaux de Petri : JP Leclercq, INFOB321 - Théorie des graphes (Septembre 2008)

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