Niveaux des graphes

Sommaire du document

La décomposition en niveaux nous fournit un ordre topologique pour le graphe, puisque nous pouvons considérer les sommets "de haut en bas" (comparer les niveaux des sommets).

La décomposition en niveaux n'est possible que si le graphe ne possède pas de circuit.
Cela peut se démontrer de la manière suivante :

  • soient x et y deux sommets d'un mê;me circuit, avec les arcs (x,y) et  (y,x)
  • Selon l'arc (x,y), nous définissons le niveau de x à 0[1] et le niveau de y à 1.
  • Ensuite, selon l'arc (y,x), le niveau de y doit être inférieur au niveau de x, mais ces niveaux ont déjà été définis, et 1 < 0 est faux.

Algorithme de décomposition en niveaux

  1. //initialisation
  2. ;: level[x] ;:= -1;
  3. ;: deg[x] ;:= degré; inté;rieur de x;
  4. ;:= 0;
  5. //décomposition possible
  6. decomp ;:= true;
  7.  
  8. //exécution
  9. tant_que  ;;: level[x] = -1 decomp faire
  10.  
  11. decomp ;:=false;
  12.  
  13. // ∀ sommet non traité
  14. ;: deg[x] = 0 level[x] = -1 faire
  15.  
  16. // positionner x sur le niveau courant
  17. level[x] ;:= k;
  18.  
  19. // poursuivre la décomposition
  20. decomp ;:= true;
  21.  
  22. fin
  23.  
  24. // ∀ sommet de ce niveau
  25. ;: level[x] = k faire
  26.  
  27. // ∀ sommet y incident au sommet x
  28. // rappel : A est l'ensemble des arcs
  29. ;: (x,y) ;∈ A
  30.  
  31. // retirer le sommet car il est traité
  32. // => diminuer le degré intérieur
  33. deg[y] ;:= deg[y]-1;
  34.  
  35. fin
  36.  
  37. // changer de niveau
  38. ;:= k+1;
  39.  
  40. fin
  41.  

Complexité

La complexité de l'algorithme de décomposition en niveaux est de Ordre de grandeur(n2), bien que les deux imbriqués laissent présumer une complexité de Ordre de grandeur(n3).

 

Réseaux sociaux

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Nuage de mots clés

19 mots clés dont 12 définis manuellement (plus d'information...).

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Notes

  1.  Numérotation des niveaux : La numérotation des niveaux débute à zéro.

 

Références

  1. livre Langue du document: fr INFOB321 - Théorie des graphes : JP Leclercq, Cours de Théorie des Graphes et réseaux de Petri (Septembre 2008)

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Document créé le 03/01/10 19:41, dernière modification le Mercredi 28 Juin 2017, 15:26
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Ce n'est pas étonnant qu'Internet soit devenu assez puissant pour satisfaire tous les espoirs de ceux qui l'utilisent. Après tout il a été conçu pour résister à une guerre nucléaire, et pas simplement aux petits potins des hommes politiques.

Denise Caruso
 
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