Automates et analyse des langages

Nous avons utilisé Lex3 pour générer un analyseur lexical. Nous allons à présent tenter de comprendre comment ce dernier procède pour accepter les mots du langage.

Automates finis

Un automate ressemble à un graphe, et est composé d'états (représentés par des cercles), et des transitions (représentées par des flèches). Un automate fini permet de reconnaitre des chaînes de caractères possibles du langage.

Chaque transition qui mène à un état correspond à une lecture.

Notre automate débute avec un état initial, peut accepter des transitions en fonction de ce qu'il lit et de l'étiquette de la transition, et se termine dans un état final. La concaténation des différentes étiquettes du chemin parcouru dans l'automate nous donne un mot accepté par le langage de l'automate.

Dans le cas d'un langage vide, nous avons un état initial, et un état final qui ne sont reliés par aucune transition.

Théorème de Kleene4

A language is regular iff it can be accepted by a finite automaton.
« Un langage est régulier ssi il peut être accepté par un automate fini. »
Kleene4

Comme le théorème de Kleene nous affirme que les langages réguliers sont des langages décidés par des automates finis, nous pouvons construire un automate fini pour toute expression rationnelle.

Table des matières Haut

Automates finis non déterministes

Un AFN [automate fini non déterministe] (avec transitions vides) se compose de :

  • Σ : l'ensemble des symboles d'entrée, l'alphabet9.
  • S : l'ensemble fini d'états.
  • s0 ∈ S : l'état initial.
  • F ⊆ S : l'ensemble des états finaux, ou ensemble des états d'acceptation (représentés par un double cercle).
  • Δ ⊆ S x (Σ ∪ {ε}) x S : la relation de transition, ou fonction de transition, qui donne pour chaque état et pour chaque symbole de Σ ∪ {ε} l'ensemble des états suivants.
Exemple d'automate fini non déterministe

Nous pouvons remarquer que cet automate est non déterministe, car la lecture d'un caractère "a" dans l'état 0 peut mener soit à un retour à l'état 0, soit à l'état 1. Nous ne pouvons donc pas déterminer vers quel état l'automate se place après la lecture du caractère "a".

Table des matières Haut

Les tables de transitions

Nous pouvons représenter nos automates sous une forme graphique, mais nous pouvons aussi les représenter sous la forme d'un tableau à deux entrées : les états et les symboles d'entrée (dans notre cas, nous avons aussi ε).

Si nous reprennons notre exemple, nous pouvons construire la table suivante :

Symboles d'entrée
abc
ÉtatsS0{0,1}{0}
S1{2}
S2{3}
S3

Nous constatons que notre automate est non déterministe car nous avons plus d'une valeur pour la lecture d'un caractère a dans l'état S0.

La ligne correspondant à l'état S3 ne possède pas de valeur car nous n'avons pas de transitions depuis cet état.10

Table des matières Haut

Automates finis déterministes

Lorsque nous avons un automate qui, pour chaque état et pour chaque symbole d'entrée, ne possède qu'au maximum une seule transition possible, nous n'avons plus de choix. Nous parlons alors d'automate fini déterministe [AFD].

Dans ce cas, notre AFD ne peut adopter qu'un et un seul comportement pour un mot donné 

  • Il ne possède pas de transition-ε
  • Il ne possède qu'au maximum un état d'arrivée pour un caractère lu depuis un état de départ

Table des matières Haut

Automates complets

Si nous sommes en présence d'un AFD qui possède exactement un état d'arrivée pour un caractère lu depuis un état de départ, nous parlons alors d'automate fini déterministe [AFD] complet.

Table des matières Haut

Automates à pile

Si nous tentons de construire l'automate correspondant au langage non régulier12 anbn, nous ne pouvons pas assurer que le nombre de a soit identique au nombre de b.

La solution est d'utiliser une pile que nous remplissions à chaque lecture d'un caractère a et que nous dépilons ensuite à chaque lecture d'un caractère b.

Un automate à pile se compose de :

  • Σ : l'ensemble des symboles d'entrée, l'alphabet.
  • Q : l'ensemble fini d'états.
  • q0 &isin ;Q : l'état initial.
  • F ⊆ Q : l'ensemble des états finaux, ou ensemble des états d'acceptation.
  • Δ fini ⊆ Q+ x (Σ ∪ {ε}) x Q* : la relation de transition.

Table des matières Haut

Complémentation

Nous avons parfois besoin de créer un automate qui accepte tout ce qui n'appartient pas au langage. Cet automate est l'inverse de notre automate de départ, et nous parlons de complément.

Pour construire un automate A' qui accepte le complément de l'automate A, nous devons 

  • Rendre A déterministe
  • Le compléter 
    • Ajouter un état mort
    • Ajouter des transitions vers cet état
    • Appliquer la propriété suivante : chaque chaîne conduit à un seul état
  • inverser les états finaux et non finaux

Document créé le 15/05/2010, dernière modification le 28/10/2018
Source du document imprimé : https://www.gaudry.be/langages-compilateurs-automates.html

L'infobrol est un site personnel dont le contenu n'engage que moi. Le texte est mis à disposition sous licence CreativeCommons(BY-NC-SA). Plus d'info sur les conditions d'utilisation et sur l'auteur.

Notes

  1.  Gnu's Not Unix : correspond à « GNU n'est pas UNIX » en français

  2.  GNU : “Gnu's Not Unix” (en français, « GNU n'est pas UNIX ») Groupement de logiciels libres. Il s'agit d'un acronyme récursif, car nous retrouvons l'acronyme dans sa propre définition.

  3.  Lex et Flex : Nous emploierons le terme Lex pour désigner l'outil d'analyse lexicale, mais il peut s'agir de Flex, son équivalant GNU

  4. a,b Kleene : Stephen Cole Kleene, mathématicien et logicien américain, inventeur des concepts d'expression rationnelle et de langage rationnel.

  5.  if and only if : correspond à « si et seulement si » en français

  6.  iff : “if and only if” (en français, « si et seulement si »)

  7.  ssi : si et seulement si

  8.  AFN : automate fini non déterministe

  9.  Transitions vides : La définition que nous utilisons ici diffère de celle de l'ouvrage de référenceref 2 car nous incluons ε dans Σ, et donc nous acceptons les transitions vides.

  10.  S3 : Notre exemple est un exemple simple, et ne posséde pas de transition depuis l'état terminal S3, mais nous pouvons avoir des transitions au départ d'états terminaux, de même que nous pouvons avoir plus d'un état terminal dans notre automate.

  11. a,b,c,d AFD : automate fini déterministe

  12.  langage régulier : anbn n'est pas un langage régulier car le nombre de mots est infini et son automate n'est pas fini non plus.

Table des matières Haut

Références

  1. livre Langue du document :fr IHDCB332 - Théorie des langages : Syntaxe et sémantique : PY Schobbens, Syntaxe et sémantique (January 2010)
  2. livre Langue du document :fr Compilateurs : A. Aho, M. Lam, R. Sethi, J. Ulman, Principes; techniques et outils

Ces références et liens indiquent des documents consultés lors de la rédaction de cette page, ou qui peuvent apporter un complément d'information, mais les auteurs de ces sources ne peuvent être tenus responsables du contenu de cette page.
L'auteur de ce site est seul responsable de la manière dont sont présentés ici les différents concepts, et des libertés qui sont prises avec les ouvrages de référence. N'oubliez pas que vous devez croiser les informations de sources multiples afin de diminuer les risques d'erreurs.

Table des matières Haut