Axiomes

Introduction

Dans le cas de calcul de probabilité où on évalue le nombre de chance d'obtenir telle ou telle valeur avec un dé, il semble évident qu'il existe une chance sur six d'obtenir la valeur associée à une des six faces du dé. Seulement, nous sommes souvent confrontés à des cas où il est impossible d'évaluer par la raison les chances de succès d'un résultat donné.

Dans tous les cas, que la probabilité d'un événement soit le fruit d'un raisonnement ou d'une statistique, elle satisfait à certaines théories axiomatiques.

Un axiome est une vérité évidente en soi.
Des philosophes grecs de l'antiquité considéraient que certaines affirmations étaient évidentes et ne nécessitaient aucune démonstration de preuve.

L'axiome est utilisé en mathématiques et en informatique comme un fait établi et non contradictoire sur lequel nous pouvons nous reposer pour établir une théorie. Dans certains cas, les axiomes sont choisis arbitrairement. La pertinence d'une théorie dépend donc de la pertinence de ses axiomes.

Contents Haut

Axiomes de Kolmogorov

E = catégorie d'épreuve
A ⊂ E et B ⊂ E

Axiome 1

La probabilité d'un événement A est un nombre non négatif. Pr (A) ≥ 0

Contents Haut

Axiome 2

La probabilité de l'événement certain E est égale à 1. Pr (E) = 1

Contents Haut

Déduction

La probabilité d'un événement est un nombre positif supérieur ou égal à un. 0 ≤ Pr (A) ≤ 1

Contents Haut

Axiome 3

La propriété de A ou de B (A et B étant disjoints) est égale à la somme des probabilités de ces événements. Pr (A ∪ B) = Pr (A) + Pr (B)
Cet axiome est appelé axiome d'additivité.

Exemple:
Une urne contient 10 boules blanches ,5 boules noires, et 15 boules bleues. On tire une boule de l'urne et on mesure la probabilité qu'elle soit blanche ou noire.
E={"tirer une boule"} #E=30
A={"tirer une boule blanche"} #A=10
B={"tirer une boule noire"} #B=5
Pr (A) = 10/30
Pr (B) = 5/30
Pr (A ∪ B) = Pr (A) + Pr (B) = 10/30 + 5/30 = 15/30 = 1/2

Contents Haut

Remarque

Ces trois axiomes portent sur des probabilités discrètes, mais il existe aussi des probabilités continues, qui elles, ne dépendent pas de ces axiomes.

Contents Haut

English translation

You have asked to visit this site in English. For now, only the interface is translated, but not all the content yet.

If you want to help me in translations, your contribution is welcome. All you need to do is register on the site, and send me a message asking me to add you to the group of translators, which will give you the opportunity to translate the pages you want. A link at the bottom of each translated page indicates that you are the translator, and has a link to your profile.

Thank you in advance.

Document created the 19/03/2002, last modified the 26/10/2018
Source of the printed document:https://www.gaudry.be/en/probabilites-axiomes.html

The infobrol is a personal site whose content is my sole responsibility. The text is available under CreativeCommons license (BY-NC-SA). More info on the terms of use and the author.