Opérations sur les matrices

Egalité de matrices

Définition

Deux matrices A = (aij) et B = (bij) sont égales si

  • elles sont de même format.
  • aij = bij pour tout i et j.

Somme de deux matrices

Définition

Soit deux matrices A = (aij) et B = (bij), la somme des deux matrices est une matrice C = (cij)

  • de même format.
  • telle que cij = aij + bij pour tout i et j.

Exemple

Soit A et B les matrices suivantes :

Matrice A
Matrice B

La somme des deux matrices est la matrice suivante :

Matrice C (somme des matrices A et B)

Remarque: l'addition est commutative (A+B=B+A).

Différence de deux matrices

Définition

Soit deux matrices A = (aij) et B = (bij), la différence des deux matrices est une matrice C = (cij)

  • de même format.
  • telle que cij = aij - bij pour tout i et j.

Exemple

Soit A et B les matrices suivantes :

Matrice A
Matrice B

La différence des deux matrices est la matrice suivante :

Matrice C (différence des matrices A et B)

Remarques :

  • La différence n'est pas commutative.
  • A-B = -(B-A).

Produit d'une matrice par un scalaire

Définition

Soit une matrice quelconque A = (aij), et un scalaire ß, le produit des deux est une matrice B = (bij)

  • de même format que A.
  • telle que bij = ßaij pour tout i et j.

Exemple

Soit A la matrice suivantes:

Matrice A

Le produit de la matrices et du scalaire 2 est la matrice suivante:

Matrice C (produit de la matrice A et du scalaire 2)

Produit de deux matrices

Définition

Soit deux matrices A = (aij) de format m*n, et B = (bij) de format n*p,
le produit des deux matrices est une matrice C = (cij)

  • de format m*p.
  • telle que cij est le produit de la ligne i de A par la colonne j de B pour tout i et j.

Exemple

Soit A et B les matrices suivantes:

Matrice A
Matrice B

Le produit des deux matrices est la matrice suivante:

Matrice C (produit de deux matrices)

Remarque:

  • Le produit matriciel n'est pas commutatif.

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