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Calcul des prédicats : les substitutions

Contents

Une substitution est le fait de remplacer une variable par un autre terme. Nous représenterons la substitution au sein de l'ensemble par une lettre grecque, et l'opérateur de substitution par le signe  est SUBSTITUE par , mais nous pouvons aussi retrouver dans certains ouvrages le signe = dont la signification est identique.

Nous traduirons la notation  { X est SUBSTITUE par Y }  par « X est remplacé par Y »1.

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Définition de la substitution

Une substitution est un ensemble de la forme sigma  =   { X1 est SUBSTITUE par t1, ..., Xn est SUBSTITUE par tn }  tel que  

  • ( POUR TOUT i est INCLU dans  { 1, ..., n } ) Xi est INCLU dans V
  • ( POUR TOUT i est INCLU dans  { 1, ..., n } ) ti est INCLU dans T
  • ( POUR TOUT i, j est INCLU dans  { 1, ..., n } ) ( (i est DIFFERENT de j)  IMPLIQUE  (Xi est DIFFERENT de Xi) )
  • ( POUR TOUT i est INCLU dans  { 1, ..., n } ) (Xi est DIFFERENT de ti)

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Domaine et co-domaine

Soit sigma  =   { X1 est SUBSTITUE par t1, ..., Xn est SUBSTITUE par tn }  une substitution, nous avons
une FONCTION dom(AVEC sigma COMME ARGUMENTS)  =   { X1, ..., Xn }  et une FONCTION codom(AVEC sigma COMME ARGUMENTS)  =  une FONCTION var(AVEC t1, ..., tn COMME ARGUMENTS)

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Exemples de substitutions

  •  { X est SUBSTITUE par 1, Y est SUBSTITUE par 2, Z est SUBSTITUE par 3 }  substitue 1 à X (remplace X par la valeur 1), substitue 2 à Y, et 3 à Z.
  •  { X est SUBSTITUE par 3, Y est SUBSTITUE par une FONCTION f(AVEC Z COMME ARGUMENTS) } 
  •  { X est SUBSTITUE par Z, Y est SUBSTITUE par une FONCTION f(AVEC Z COMME ARGUMENTS) } 

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Exemples non-valides

  •  { X est SUBSTITUE par X, Y est SUBSTITUE par 1 }  n'est pas une substitution car on ne peut substituer une variable par elle-même.
  •  { X est SUBSTITUE par 1, X est SUBSTITUE par 2, Y est SUBSTITUE par 3 }  n'est pas une substitution car on ne peut lier une variable à deux termes différents. Sinon, devons nous substituer 1 ou 2 à X ?

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Substitutions appliquées à des expressions

Nous pouvons aussi appliquer des substitutions sur des termes composés ou des expressions prédicatives. Si nous appliquons une substitution sigma sur l'expressions prédicative E (dont nous noterons le résultat sigmaE), nous devons remplacer, pour toute variable X que nous rencontrons dans E, la variable X par le terme t qui lui est associé dans E.

Substitution (sigma) | Expression (E) | Résultat (sigmaE) |
 { X est SUBSTITUE par ada_lovelace, Y est SUBSTITUE par 1 }  | une FONCTION p(AVEC X, X, georgui_plekhanov COMME ARGUMENTS) | une FONCTION p(AVEC ada_lovelace, ada_lovelace, georgui_plekhanov COMME ARGUMENTS) |
 { X est SUBSTITUE par benjamin_constant, Y est SUBSTITUE par 1 }  | une FONCTION p(AVEC X, Z COMME ARGUMENTS) | une FONCTION p(AVEC benjamin_constant, Z COMME ARGUMENTS) |
 { X est SUBSTITUE par ada_lovelace, Y est SUBSTITUE par une FONCTION f(AVEC Z COMME ARGUMENTS) }  | une FONCTION p(AVEC une FONCTION g(AVEC Y COMME ARGUMENTS), X, une FONCTION h(AVEC X COMME ARGUMENTS), W COMME ARGUMENTS) | une FONCTION p(AVEC une FONCTION g(AVEC une FONCTION f(AVEC Z COMME ARGUMENTS) COMME ARGUMENTS), ada_lovelace, une FONCTION h(AVEC ada_lovelace COMME ARGUMENTS), W COMME ARGUMENTS) |

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Composition

Nous obtenons la composition sigmatheta de sigma  =   { X1 est SUBSTITUE par t1, ..., Xn est SUBSTITUE par tn }  par theta  =   { Y1 est SUBSTITUE par u1, ..., Ym est SUBSTITUE par um }  à partir de { X1 est SUBSTITUE par t1theta, ..., Xn est SUBSTITUE par tntheta, Y1 est SUBSTITUE par u1, ..., Ym est SUBSTITUE par um }  en supprimant tous les Xi est SUBSTITUE par titheta tels que Xi = titheta et tous les Yj est SUBSTITUE par uj tels que Yj est INCLU dans une FONCTION codom(AVEC sigma COMME ARGUMENTS)

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Source of the printed document:https://www.gaudry.be/en/calcul-predicats-substitution-rf-texte.html

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Notes

  1. ↑ Notation : Dans certains ouvrages  { Y est SUBSTITUE par X }  est traduit par « Y remplace X », mais nous n'utiliserons jamais cette notation dans les pages qui suivent car cette notation est inversée par rapport à celle que nous utilisons. Une fois qu'un choix de notation est pris, nous devons nous y tenir afin d'éviter toute confusion possible.

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References

  1. book Language of the document:fr IHDCB337 - Technique d'intelligence artificielle : JM Jacquet, Programmation déclarative (2009)
  2. book Language of the document:fr IHDCB337 - Technique d'intelligence artificielle : H Toussaint, Tp (2009)
  3. book Language of the document:fr Logique pour l'informatique : Serenella Cerrito, Introduction à la déduction automatique (October 2008)

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