Diviser pour régner

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Du latin divide ut imperes (ou ses variantes divide et impera, divide ut reges), le principe divise pour commander (ou divise pour régner) est attribué au Sénat romain, et relève de la stratégie militaire suivante : semer la discorde parmi ses opposants permet de les contrôler, les manipuler et les soumettre plus aisément. Cette machiavélique^[1] expression était inculquée aux enfants destinnés à prendre les rênes du pouvoir.

La division de l'opposant réduit ses forces, diminue sa confiance en l'opposition du fait du manque d'unité, et le déstabilise par des conflits internes.

Si en politique l'utilisation récurente de cette tactique peut avoir pour conséquence la révélation de la stratégie répétitive auprès des opposants, il n'en est pas de même en informatique, et nous pouvons continuer à affaiblir la difficulté d'une opération en la divisant.

Cette stratégie est fortement employée dans les alorithmes récursifs et sera généralement de type dichotomique (division en deux éléments, mais dont la taille n'est pas forcément égale).

Exemple de diviser pour régner

Si nous devons chercher une définition dans un dictionnaire, nous pouvons parcourir les pages depuis la première jusqu'au moment où nous trouvons la définition. Espérons que l'on ne doive pas trop souvent chercher la définition des zygomatiques.

Intuitivement, lorsque nous cherchons une définition, nous ouvrons le dictionnaire à un endroit où il y a une forte probabilité que les mots définis ne soient pas trop éloignés du mot que nous cherchons, nous comparons les mots de la page ouverte avec celui cheché, et puis nous sautons encore quelques pages en avant ou en arrière jusqu'à trouver la bonne page.

Principe de diviser pour régner

Nous allons à chaque fois diviser la quantité de données à traiter, jusqu'au moment où nous atteindrons le cas de base. A chaque fois nous devons respecter le fait que la division mène à un cas plus simple : nous dirons qu'il s'agit d'une relation bien fondée.

Nous atteignons le cas de base (minimal) de cette relation bien fondée "<" quand il n'est plus possible de diviser, ce qui peut s'écrire a minimal ⇔ b : b < a

Ensuite, nous devrons combiner tous les éléments.

Nous pouvons employer des boucles pour implémenter ce genre de concept, mais la récursion est vraiment indiquée car nous effectuons la division lors de "la descente" dans la pile des appels récursifs, et nous effectuons la combinaison lors de" la remontée" de la pile.

L'algorithme résoudre(v) de type diviser pour régner peut donc se résumer de la manière suivante :

• v est un cas de base ?
  • si oui : résoudre_directement(v)
  • si non :
    • Phase de décomposition : (v₁, v₂, ..., v_n) := diviser(v) pour lequel v₁, v₂, etc. sont des sous ensembles de v obtenus après division.
    • Phase de récurtion : pour chaque i : r_i = résoudre(v_i) appel à la récursion pour encore diviser notre sous ensemble
    • Phase de recomposition : r = combiner(r₁, r₂, ..., r_n)

Trier en appliquant diviser pour régner

Nous pouvons appliquer le principe "diviser pour régner" aux différents algorithmes de tri, en remplaçant résoudre(v) par trier(liste_in). Pour nos exemples, nous allons définir certaines conditions:

liste_in : Liste<T>
liste_out : Liste<T>
Post-condition : liste_out est triée^[2], liste_in est une permutation^[3] de liste_out, et l'ordre de tri est réflexif.

• Le tri par sélection :
  • Info : comme l'algorithme est récursif et retourne à chaque fois une nouvelle liste, liste_i correspond à la liste utilisée au moment i.
  • combiner = cons(v, liste_i) {v est l'élément à mettre en tête si il possède la plus petite valeur des éléments de la liste triée}
  • Cas de base : liste_i = null
  • "diviser" correspond ici à la recherche de la plus petite valeur, en (n)
  • Nous pouvons en déduire que le temps total (diviser + résoudre + combiner) sera de l'ordre de (n²), car il est fait n fois appel à "diviser".
• Le tri par insertion :
  • diviser(liste_i) = {head(liste_i), tail(liste_i)}
  • Cas de base : liste_i = null
  • "combiner" correspond ici à l'insertion d'un élément dans une liste triée, et le temps est proportionnel à la taille de la liste (n)^[4]
  • Le temps total sera de l'ordre de (n²)
  • Nous ne constatons donc aucune différence en ordre de grandeur avec le tri par sélection
• Le tri par fusion :
  • Le tri par fusion est par définition un cas typique de diviser pour régner.
  • diviser(liste_i) = liste_i1, liste_i2 tel que liste_i1 + liste_i2 = liste_i et |liste_i1| = |liste_i1| ± 1 en (log n)
  • Cas de base : |liste_i| = 1
  • "combiner" correspond ici à la fusion de deux listes triées en (n)
  • Le temps total sera de l'ordre de (n log n)
  • Le tri par fusion est donc nettement plus efficace en ordre de grandeur que le tri par sélection ou le tri par insertion.

Notes

1. ↑ Machiavel : Machiavel use de cette stratégie dans son ouvrage "Le Prince" (ISBN : 2-7427-3241-1)
   
   
2. ↑ Trié vs strictement trié : Une liste(simplement) triée peut contenir des doublons alors qu'une liste strictement triée ne peut en contenir (car une valeur ne peut être plus petite ou plus grande qu'elle-même
   
   
3. ↑ Permutation vs contient : Si liste_out une permutation de liste_in, tous les éléments de liste_in seront présents dans liste_out
   alors que si nous déclarons que liste_out contient toutes les valeurs de liste_in, les doublons contenus dans liste_in ne seront présents qu'une seule fois dans liste_out
   
   
4. ↑ Combiner : L'ordre de grandeur du temps de combiner dépend de l'implémentation utilisée pour notre liste. Dans le cas par exemple d'un arbre Rouge/Noir "combiner" sera de log_n)
   
   

Références

1. IHDCB331 - Méthodes de Programmation : PY Schobbens, Cours de Méthodes de Programmation (Septembre 2009)
2. Diviser pour régner : Wikipedia (version 15/10/09)
3. Introduction to Algorithms : Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, and Ronald L. Rivest (1999)

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