Algorithme d'unification de Herbrand

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Avant de voir l'algorithme d'unification de Herbrand, nous devons différencier les formes que peuvent prendre nos formules et fonctions.

Formes normales conjonctives

Lorsque nous avons une conjonction de disjonctions, nous sommes en présence d'une forme normale conjonctive. Toute formule admet une forme normale conjonctive équivalante.

Nous pouvons transformer nos formules en forme normale conjonctive de la manière suivante :

• Transformation des ⇒ par des équivalances p ⇒ q ⇔ ¬p ∨ q
• Ajout de négations pour les atomes avec ¬¬X ⇔ X et les lois de de Morgan (inversion des conjonctions et disjonctions).
• Application de la distributivité de ∧ et ∨ pour obtenir une conjonction (utilisation des ∧) de clauses.
• Renommage des variables si nécessaire.

Formes prénexes

Une formule est de forme prénexe (ou forme normale prénexe) si tous les quantificateurs sont en tête. La suite des quantificateur est le préfixe, et la formule sans quantificateurs est la matrice.

Formes de Skolem

Une formule est de forme de Skolem (ou forme normale de Skolem) si elle est en forme prénexe et ne contient pas de quantificateur existentiel.

Formes clausales

Un littéral est une formule atomique ou la négation d'une formule atomique. Une clause est une disjonction^[1] de littéraux.
Les variables d'une clause sont implicitement quantifiées universellement (∀) en tête de clause.

Une formule est de forme clausale (ou forme normale clausale) si elle est en forme de Skolem, fermée, et si sa matrice est en forme normale conjonctive propositionnelle.

Terminologie d'Herbrand

Terme clos

Un terme clos est un terme ne contenant pas de variable. L'ensemble des termes clos forme l'univers d'Herbrand. L'univers de Herbrand d'un ensemble de clauses est l'ensemble des termes de base que nous pouvons construire à partir de l'ensemble des termes clos^[2] que nous retrouvons dans cet ensemble des clauses.

Atome clos

Un atome clos est un atome ne contenant pas de variable. L'ensemble des atomes clos forme la base d'Herbrand.

Interprétation d'Herbrand

Une interprétation de Herbrand est une interprétation dont :

• son domaine est l'univers de Herbrand
• les constantes sont assignées à elles-mêmes
• les variables de l'ensemble de clauses sont remplacées par des éléments de l'univers de Herbrand

Les interprétations d'Herbrand ne diffèrent que par les assignations des prédicats.

Modèle d'Herbrand

Un modèle de Herbrand d'un ensemble de clauses est une interprétation de Herbrand de cet ensemble de clauses qui est un modèle de cet ensemble de clauses.

Algorithme d'unification de Herbrand

Soit S un système d'équations.
Tant que possible répéter

• Sélectionner une équation Eq
• Modifier S selon la forme de Eq comme suit :
  • Eq : f(t₁,...,t_n) = f(u₁,...,u_n)
    • Remplacer Eq par les équations t₁ = u₁,...,t_n = u_n
  • Eq : f(t₁,...,t_m) = f(u₁,...,u_n) avec m ≠ n
    • Arrêter avec échec (car le nombre d'arguments des fonctions n'est pas identique).
  • Eq : f(t₁,...,t_m) = g(u₁,...,u_n) avec f ≠ g
    • Arrêter avec échec (foncteurs différents).
  • Eq : X = X avec X variable
    • Eliminer Eq.
  • Eq : t = X avec X variable, t non variable
    • Remplacer Eq par X = t.
  • Eq : X = t avec
    • X variable distincte de t
    • X apparaît dans S \ {Eq}
    • Si X apparaît dans t, arrêter avec échec.
    • sinon, remplacer X par t dans S \ {Eq}

Notes

1. ↑ Disjonction : Une disjonction est une ou plusieures relations de type booléen OU.
   
   
2. ↑ Univers de Herbrand : Quand nous évoquons l'ensemble des termes clos, c'est celui des symboles de fonctions et de constantes du langage du premier ordre considéré.
   
   

Références

1. IHDCB337 - Technique d'intelligence artificielle : JM Jacquet, Programmation déclarative (2009)
2. IHDCB337 - Technique d'intelligence artificielle : H Toussaint, Tp (2009)

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