Axiomes

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Introduction

Dans le cas de calcul de probabilité où on évalue le nombre de chance d'obtenir telle ou telle valeur avec un dé, il semble évident qu'il existe une chance sur six d'obtenir la valeur associée à une des six faces du dé. Seulement, nous sommes souvent confrontés à des cas où il est impossible d'évaluer par la raison les chances de succès d'un résultat donné.

Dans tous les cas, que la probabilité d'un événement soit le fruit d'un raisonnement ou d'une statistique, elle satisfait à certaines théories axiomatiques.

Un axiome est une vérité évidente en soi.
Des philosophes grecs de l'antiquité considéraient que certaines affirmations étaient évidentes et ne nécessitaient aucune démonstration de preuve.

L'axiome est utilisé en mathématiques et en informatique comme un fait établi et non contradictoire sur lequel nous pouvons nous reposer pour établir une théorie. Dans certains cas, les axiomes sont choisis arbitrairement. La pertinence d'une théorie dépend donc de la pertinence de ses axiomes.

Axiomes de Kolmogorov

E = catégorie d'épreuve
A ⊂ E et B ⊂ E

Axiome 1

La probabilité d'un événement A est un nombre non négatif. Pr (A) ≥ 0

Axiome 2

La probabilité de l'événement certain E est égale à 1. Pr (E) = 1

Déduction

La probabilité d'un événement est un nombre positif supérieur ou égal à un. 0 ≤ Pr (A) ≤ 1

Axiome 3

La propriété de A ou de B (A et B étant disjoints) est égale à la somme des probabilités de ces événements. Pr (A ∪ B) = Pr (A) + Pr (B)
Cet axiome est appelé axiome d'additivité.

Exemple:
Une urne contient 10 boules blanches ,5 boules noires, et 15 boules bleues. On tire une boule de l'urne et on mesure la probabilité qu'elle soit blanche ou noire.
E={"tirer une boule"} #E=30
A={"tirer une boule blanche"} #A=10
B={"tirer une boule noire"} #B=5
Pr (A) = 10/30
Pr (B) = 5/30
Pr (A ∪ B) = Pr (A) + Pr (B) = 10/30 + 5/30 = 15/30 = 1/2

Remarque

Ces trois axiomes portent sur des probabilités discrètes, mais il existe aussi des probabilités continues, qui elles, ne dépendent pas de ces axiomes.

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