Opérations sur les matrices

Egalité

Définition

Deux matrices A = (a_ij) et B = (b_ij) sont égales si

• elles sont de même format.
• a_ij = b_ij pour tout i et j.

Somme de deux matrices

Définition

Soit deux matrices A = (a_ij) et B = (b_ij), la somme des deux matrices est une matrice C = (c_ij)

• de même format.
• telle que c_ij = a_ij + b_ij pour tout i et j.

Exemple

Soit A et B les matrices suivantes :

La somme des deux matrices est la matrice suivante :

Remarque: l'addition est commutative (A+B=B+A).

Différence de deux matrices

Définition

Soit deux matrices A = (a_ij) et B = (b_ij), la différence des deux matrices est une matrice C = (c_ij)

• de même format.
• telle que c_ij = a_ij - b_ij pour tout i et j.

Exemple

Soit A et B les matrices suivantes :

La différence des deux matrices est la matrice suivante :

Remarques :

• La différence n'est pas commutative.
• A-B = -(B-A).

Produit d'une matrice par un scalaire

Définition

Soit une matrice quelconque A = (a_ij), et un scalaire ß, le produit des deux est une matrice B = (b_ij)

• de même format que A.
• telle que b_ij = ßa_ij pour tout i et j.

Exemple

Soit A la matrice suivantes:

Le produit de la matrices et du scalaire 2 est la matrice suivante:

Produit de deux matrices

Définition

Soit deux matrices A = (a_ij) de format m*n, et B = (b_ij) de format n*p,
le produit des deux matrices est une matrice C = (c_ij)

• de format m*p.
• telle que c_ij est le produit de la ligne i de A par la colonne j de B pour tout i et j.

Exemple

Soit A et B les matrices suivantes:

Le produit des deux matrices est la matrice suivante:

Remarque:

• Le produit matriciel n'est pas commutatif.

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