Opérateurs logiques

Sommaire du document

• Opérateur de négation : NOT
• Opérateur de conjonction : AND
• Opérateurs de disjonction : OR et XOR
• Opérateurs d'implication
• Opérateurs d'équivalence

NOT: opérateur de négation

Notation

Soit p une proposition logique, la négation de p se notera ¬p, ou ~p, ou encore p^[1].

Dans la mesure du possible, j'utiliserai la notation p; mais dans le cas par exemple d'une double négation, j'utiliserai la notation ¬¬p (simplement parce que je n'ai pas trouvé le moyen de surligner deux fois un caractère...).

Définition

p = vrai <=> p = faux

p = faux <=> p = vrai

Table de vérité

les valeurs sont purement et simplement inversées; nous pouvons parler de négation

Exemple

Soit la proposition (instruction) suivante:
if (a>b) printf("%d", a); else a++;

La négation ("!" en langage c) de la proposition donne:
if (!(a>b)) printf("%d",a); a++;

Remarques:

• En modifiant l'ordre des instructions, la négation est annulée:
  if (!(a>b)) a++; else printf("%d", a);
• Nous pouvons nier la proposition sans utiliser l'opérateur de négation:
  if (a>b) a++; else printf("%d", a); est égal à if (!(a>b)) printf("%d",a); a++;

Propriétés

Une double négation s'annule: ¬¬p = p.

Exemple: "if (!(!(a>b))) printf("%d",a); a++;" est égal à "if (a>b)printf("%d",a); a++;"

En électricité

L'équivalent en électricité de l'opérateur logique de négation est l'inverseur.

En électronique

Notation américaine:

Notation européenne:

Remarque

L'opérateur de négation porte sur une seule proposition, même si cette dernière peut être composée d'opérations, ou être très complexe.

AND: opérateur de conjonction

Notation

Soit p et q des propositions logiques, leur conjonction se notera p ^ q, ou p . q (attention: il ne s'agit pas ici d'algèbre traditionnel).

Définition

p . q = vrai <=> p = vrai ET q = vrai

Table de vérité

Nous pouvons donc en déduire que le zéro (valeur faux) est absorbant, comme en multiplication dans l'algèbre traditionnel.

Exemple

if (a>10 && a<20) printf("%d", a);

Les deux conditions doivent être réunies pour que l'instruction soit exécutée; si une seule (ou aucune des deux) condition est réunie, l'instruction n'est pas exécutée.
En langage c ce type d'opérateur est figuré par la suite de caractères suivante: &&.
Dans notre exemple, les valeurs de 11 à 19 réunissent les conditions pour l'impression vers le fichier de sortie standard (l'écran).

Propriétés

Soit t une tautologie et i une ineptie:

1. p . p = p
   
   
2. p . p = 0
   
   
3. p . i = 0 (car p . 0 = 0)
   
   
4. p . t = p (car p . 1 = p)
   
   
5. p . q = q . p
   
   
6. (p . q) . r = p . (q . r)

Démonstration de (p . q) . r = p . (q . r)

En électricité

En électronique

Notation américaine:

Notation européenne:

OR: opérateur de disjonction

Notation

Soit p et q des propositions logiques, le OU inclusif se notera p + qou p v q.

Définition

p + q = vrai si p ou q = vrai.
p + q = faux <=> p et q = faux.

Table de vérité

Nous pouvons donc en déduire que le un (valeur vrai) est absorbant.

Exemple

if ((a>5) || (b>10)) instruction1;
else instruction2;

a = 6 et b = 11 => instruction1
a = 6 et b = 6 => instruction1
a = 4 et b = 6 => instruction2
a = 4 et b = 11 => instruction1

Propriétés

Soit 1 une tautologie et 0 une ineptie:

1. p + p = p
   
   
2. p + p = 1
   
   
3. p + 1 = 1
   
   
4. p + 0 = p
   
   
5. p + q = q + p
   
   
6. (p + q) + r = p + (q + r)

En électricité

En électronique

Notation américaine:

Notation européenne:

XOR: opérateur de disjonction

Notation

Soit p et q des propositions logiques, le OU exclusif se notera p qou p v q.

Définition

Nous pouvons appeler XOR ou exclusif car il exclut le AND

p q = p. q + p . q

p q = (p. q) . pq

Table de vérité

p	q	p q
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Propriétés

Soit 1 une tautologie et 0 une ineptie:

1. p p = 0
   
   
2. p p= 1
   
   
3. p 1 = p
   
   
4. p 0 = p
   
   
5. p q = q p
   
   
6. (p q) r = p (q r)

En électronique

Notation américaine:

Notation européenne:

Opérateurs d'implication

Notation

Soit p et q des propositions logiques, l'équivalence se notera p => q.

Définition

L'expression "p implique q" revient à nier l'antécédent et ajouter le conséquent. La proposition "p" est l'antécédent, et la proposition "q" est le conséquent. p => q ⇔ p + q

Mais keskidit?

Nous pouvons dire que "p implique q" est faux seulement si "p" est vrai et que "q" est faux.

Table de vérité

Opérateurs d'équivalence

Notation

Soit p et q des propositions logiques, l'équivalence se notera p ° q ou p ⇔ q.

Table de vérité

Exemple

p = "ce triangle est équilatéral"
q = "ce triangle a trois côtés égaux"

p <=> q

Propriétés

1. (p <=> q) ⇔p. q+ p + q
   
   
2. (p <=> q) ⇔p q
   
   
3. (p <=> q) ⇔(p => q) . (q => p)

Démonstration algébrique de (p <=> q) ⇔(p => q) . (q => p)

(p => q) . (q => p) ⇔(p+ q) . (q+ q)

⇔p. q+ p. p + q . q+ q . p

⇔p. q+ q . p ⇔(p <=> q) (cf. propriété1)

cqfd: (p => q) . (q => p) ⇔ (p <=> q)

Notes

1. ↑ Notation de la négation : Normalement la lettre p doit s'afficher avec un trait au dessus. Cependant, il est possible que des problèmes d'affichage ne permettent pas de voir le trait.
   
   

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