Niveaux des graphes

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La décomposition en niveaux nous fournit un ordre topologique pour le graphe, puisque nous pouvons considérer les sommets "de haut en bas" (comparer les niveaux des sommets).

La décomposition en niveaux n'est possible que si le graphe ne possède pas de circuit.
Cela peut se démontrer de la manière suivante :

• soient x et y deux sommets d'un mê;me circuit, avec les arcs (x,y) et  (y,x)
• Selon l'arc (x,y), nous définissons le niveau de x à 0^[1] et le niveau de y à 1.
• Ensuite, selon l'arc (y,x), le niveau de y doit être inférieur au niveau de x, mais ces niveaux ont déjà été définis, et 1 < 0 est faux.

Algorithme de décomposition en niveaux

//initialisation
∀x : level[x] := -1;
∀x : deg[x] := degré; inté;rieur de x;
k := 0;
//décomposition possible
decomp := true;
 
//exécution
tant_que ∃ ;x ;: level[x] = -1 ∧ decomp faire
 
	decomp :=false;
 
	// ∀ sommet non traité
	∀x : deg[x] = 0 ∧ level[x] = -1 faire
 
		// positionner x sur le niveau courant
		level[x] := k;
 
		// poursuivre la décomposition
		decomp := true;
 
	fin ∀
 
	// ∀ sommet de ce niveau
	∀x : level[x] = k faire
 
		// ∀ sommet y incident au sommet x
		// rappel : A est l'ensemble des arcs
		∀y : (x,y) ;∈ A
 
			// retirer le sommet car il est traité
			// => diminuer le degré intérieur
			deg[y] := deg[y]-1;
 
		fin ∀
 
		// changer de niveau
		k := k+1;
 
	fin ∀
 
fin tant_que

Complexité

La complexité de l'algorithme de décomposition en niveaux est de (n²), bien que les deux ∀ imbriqués laissent présumer une complexité de (n³).

Notes

1. ↑ Numérotation des niveaux : La numérotation des niveaux débute à zéro.
   
   

Références

1. INFOB321 - Théorie des graphes : JP Leclercq, Cours de Théorie des Graphes et réseaux de Petri (Septembre 2008)

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