Exemple d'algorithme BFS

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Légende & situation

Graphe de départ. Ce graphe est celui que nous avons utilisé lorsque nous avons vu l'algorithme BFS, mais ici les étiquettes des sommets portent des lettres aléatoires au lieu de chiffres afin d'éviter toute confusion.

[Étape 0-0]  Initialisation des valeurs

Nous utilisons ici les mémes variables que lors des explications sur l'algorithme BFS, mais comme la place manquait sur les images, une seule lettre sera utilisée pour les variables :

• Tableaux 
  • X représente l'ensemble des sommets du graphe.
  • A représente l'ensemble des arcs du graphe.
  • V (visitedVertices) représente le tableau de booléens qui permet de savoir si un sommet à déjà été visité ou pas.
  • O (orderedVertices) représente le tableau trié dans l'ordre de découverte des sommets qui contient les indices des sommets de X.
• Variables scalaires 
  • p (parentVertex) représente l'indice dans le tableau orderedVertices du prochain sommet parent (sommet depuis lequel nous évaluerons les suivants).
  • vo (vertexOrder) représente l'indice dans le tableau orderedVertices du premier emplacement libre..
  • i est l'indice dans notre collection de départ (X) du sommet parent en cours (sommet depuis lequel nous évaluons les suivants).
  • j est l'indice dans notre collection de départ (X) d'un des suivants du sommet dont l'index est i.

Comme nous démarrons avec le sommet R, nous le considérons comme visité (voir colonne V), et l'indice de R dans X est placé au premier emplacement du tableau orderedVertices.

[Étape 1-0-0]  Affectation du sommet "parent" à traiter

i:=orderedVertices[parentVertex]; devient i := 0

Cela signifie que nous allons chercher les suivants du sommet R.

[Étape 1-0-1]  Incrémentation de parentVertex

parentVertex := parentVertex+1; devient parentVertex := 0+1;

Ce qui fait que parentVertex = 1. Ceci nous fournira l'indice du prochain sommet "parent" lorsque nous aurons exploré tous les suivants de R.

1^e passage dans la boucle intérieure

[Étape 1-1-0]  Découverte du sommet E

visitedVertices[j]:=true; devient visitedVertices[1]:=true;

Nous avons trouvé un suivant de R non encore visité, la condition de boucle est respectée : tant_que ∃ y : (x,y) ∈ A ∧ visitedVertices[j]=false

[Étape 1-1-1]  Incrémentation de vertexOrder

vertexOrder := vertexOrder+1; devient vertexOrder := 0+1;

Ce qui fait que vertexOrder = 1. Ceci nous fournira l'indice auquel nous devrons placer le nouveau sommet découvert (E).

[Étape 1-1-2]  Affectation du numéro 1 pour le sommet E

orderedVertices[vertexOrder] := j; devient orderedVertices[1] := 1;

L'indice du sommet E est ajouté au tableau ordonné.

[Étape 1-2-0]  Découverte du sommet C

visitedVertices[j]:=true; devient visitedVertices[3]:=true;

Nous avons trouvé un suivant de R non encore visité, la condition de boucle est respectée : tant_que ∃ y : (x,y) ∈ A ∧ visitedVertices[j]=false

[Étape 1-2-1]  Incrémentation de vertexOrder

vertexOrder := vertexOrder+1; devient vertexOrder := 1+1;

Ce qui fait que vertexOrder = 2. Ceci nous fournira l'indice auquel nous devrons placer le nouveau sommet découvert (C).

[Étape 1-2-2]  Affectation du numéro 2 pour le sommet C

orderedVertices[vertexOrder] := j; devient orderedVertices[2] := 3;

L'indice du sommet C est ajouté au tableau ordonné.

[Étape 1-3-0]  Découverte du sommet Z

visitedVertices[j]:=true; devient visitedVertices[4]:=true;

Nous avons trouvé un suivant de R non encore visité, la condition de boucle est respectée : tant_que ∃ y : (x,y) ∈ A ∧ visitedVertices[j]=false

[Étape 1-3-1]  Incrémentation de vertexOrder

vertexOrder := vertexOrder+1; devient vertexOrder := 2+1;

Ce qui fait que vertexOrder = 3. Ceci nous fournira l'indice auquel nous devrons placer le nouveau sommet découvert (Z).

[Étape 1-3-2]  Affectation du numéro 3 pour le sommet Z

orderedVertices[vertexOrder] := j; devient orderedVertices[3] := 4;

L'indice du sommet Z est ajouté au tableau ordonné.

[Étape 2-0-0]  Affectation du sommet "parent" à traiter

i:=orderedVertices[parentVertex]; devient i := 1

Cela signifie que nous allons chercher les suivants du sommet E car nous en avons terminé avec R.

[Étape 2-0-1]  Incrémentation de parentVertex

parentVertex := parentVertex+1; devient parentVertex := 1+1;

Ce qui fait que parentVertex = 2. Ceci nous fournira l'indice du prochain sommet "parent" lorsque nous aurons exploré tous les suivants de E.

2^e passage dans la boucle intérieure

[Étape 2-1-0]  Découverte du sommet A

visitedVertices[j]:=true; devient visitedVertices[5]:=true;

Nous avons trouvé un suivant de E non encore visité, la condition de boucle est respectée : tant_que ∃ y : (x,y) ∈ A ∧ visitedVertices[j]=false

[Étape 2-1-1]  Incrémentation de vertexOrder

vertexOrder := vertexOrder+1; devient vertexOrder := 3+1;

Ce qui fait que vertexOrder = 4. Ceci nous fournira l'indice auquel nous devrons placer le nouveau sommet découvert (A).

[Étape 2-1-2]  Affectation du numéro 4 pour le sommet A

orderedVertices[vertexOrder] := j; devient orderedVertices[4] := 5;

L'indice du sommet A est ajouté au tableau ordonné.

[Étape 2-2-0]  Découverte du sommet M

visitedVertices[j]:=true; devient visitedVertices[7]:=true;

Nous avons trouvé un suivant de E non encore visité, la condition de boucle est respectée : tant_que ∃ y : (x,y) ∈ A ∧ visitedVertices[j]=false

[Étape 2-2-1]  Incrémentation de vertexOrder

vertexOrder := vertexOrder+1; devient vertexOrder := 4+1;

Ce qui fait que vertexOrder = 5. Ceci nous fournira l'indice auquel nous devrons placer le nouveau sommet découvert (M).

[Étape 2-2-2]  Affectation du numéro 5 pour le sommet M

orderedVertices[vertexOrder] := j; devient orderedVertices[5] := 7;

L'indice du sommet M est ajouté au tableau ordonné.

[Étape 3-0-0]  Affectation du sommet "parent" à traiter

i:=orderedVertices[parentVertex]; devient i := 3

Cela signifie que nous allons chercher les suivants du sommet C car nous en avons terminé avec E.

[Étape 3-0-1]  Incrémentation de parentVertex

parentVertex := parentVertex+1; devient parentVertex := 2+1;

Ce qui fait que parentVertex = 3. Ceci nous fournira l'indice du prochain sommet "parent" lorsque nous aurons exploré tous les suivants de C.

3^e passage dans la boucle intérieure

[Étape 3-1-0]  Découverte du sommet S

visitedVertices[j]:=true; devient visitedVertices[6]:=true;

Nous avons trouvé un suivant de C non encore visité, la condition de boucle est respectée : tant_que ∃ y : (x,y) ∈ A ∧ visitedVertices[j]=false

[Étape 3-1-0]  Remarque

À ce stade, nous devrions trouver le sommet C à l'indice 5, mais visitedVertices[5]=true. L'exploration BFS ne prendra donc pas en compte l'arc (C, A).

[Étape 3-1-1]  Incrémentation de vertexOrder

vertexOrder := vertexOrder+1; devient vertexOrder := 5+1;

Ce qui fait que vertexOrder = 6. Ceci nous fournira l'indice auquel nous devrons placer le nouveau sommet découvert (S).

[Étape 3-1-2]  Affectation du numéro 6 pour le sommet S

orderedVertices[vertexOrder] := j; devient orderedVertices[6] := 6;

L'indice du sommet S est ajouté au tableau ordonné.

[Étape 4-0-0]  Affectation du sommet "parent" à traiter

i:=orderedVertices[parentVertex]; devient i := 4

Cela signifie que nous allons chercher les suivants du sommet Z car nous en avons terminé avec C.

[Étape 4-0-1]  Incrémentation de parentVertex

parentVertex := parentVertex+1; devient parentVertex := 3+1;

Ce qui fait que parentVertex = 4. Ceci nous fournira l'indice du prochain sommet "parent" lorsque nous aurons exploré tous les suivants de Z.

[Étape 5-0-0]  Affectation du sommet "parent" à traiter

i:=orderedVertices[parentVertex]; devient i := 5

Cela signifie que nous allons chercher les suivants du sommet A car nous en avons terminé avec Z.

[Étape 5-0-1]  Incrémentation de parentVertex

parentVertex := parentVertex+1; devient parentVertex := 4+1;

Ce qui fait que parentVertex = 5. Ceci nous fournira l'indice du prochain sommet "parent" lorsque nous aurons exploré tous les suivants de A.

4^e passage dans la boucle intérieure

[Étape 5-1-0]  Découverte du sommet L

visitedVertices[j]:=true; devient visitedVertices[2]:=true;

Nous avons trouvé un suivant de A non encore visité, la condition de boucle est respectée : tant_que ∃ y : (x,y) ∈ A ∧ visitedVertices[j]=false

[Étape 5-1-1]  Incrémentation de vertexOrder

vertexOrder := vertexOrder+1; devient vertexOrder := 6+1;

Ce qui fait que vertexOrder = 7. Ceci nous fournira l'indice auquel nous devrons placer le nouveau sommet découvert (L).

[Étape 5-1-2]  Affectation du numéro 7 pour le sommet L

orderedVertices[vertexOrder] := j; devient orderedVertices[7] := 2;

L'indice du sommet L est ajouté au tableau ordonné.

[Étape 6-0-0]  Affectation du sommet "parent" à traiter

i:=orderedVertices[parentVertex]; devient i := 7

Cela signifie que nous allons chercher les suivants du sommet M car nous en avons terminé avec A.

[Étape 6-0-1]  Incrémentation de parentVertex

parentVertex := parentVertex+1; devient parentVertex := 5+1;

Ce qui fait que parentVertex = 6. Ceci nous fournira l'indice du prochain sommet "parent" lorsque nous aurons exploré tous les suivants de M.

5^e passage dans la boucle intérieure

[Étape 6-1-0]  Découverte du sommet B

visitedVertices[j]:=true; devient visitedVertices[8]:=true;

Nous avons trouvé un suivant de M non encore visité, la condition de boucle est respectée : tant_que ∃ y : (x,y) ∈ A ∧ visitedVertices[j]=false

[Étape 6-1-0]  Remarque

À ce stade, nous devrions trouver le sommet M à l'indice 2, mais visitedVertices[2]=true. L'exploration BFS ne prendra donc pas en compte l'arc (M, L).

[Étape 6-1-1]  Incrémentation de vertexOrder

vertexOrder := vertexOrder+1; devient vertexOrder := 7+1;

Ce qui fait que vertexOrder = 8. Ceci nous fournira l'indice auquel nous devrons placer le nouveau sommet découvert (B).

[Étape 6-1-2]  Affectation du numéro 8 pour le sommet B

orderedVertices[vertexOrder] := j; devient orderedVertices[8] := 8;

L'indice du sommet B est ajouté au tableau ordonné.

[Étape 6-2-0]  Découverte du sommet K

visitedVertices[j]:=true; devient visitedVertices[9]:=true;

Nous avons trouvé un suivant de M non encore visité, la condition de boucle est respectée : tant_que ∃ y : (x,y) ∈ A ∧ visitedVertices[j]=false

[Étape 6-2-1]  Incrémentation de vertexOrder

vertexOrder := vertexOrder+1; devient vertexOrder := 8+1;

Ce qui fait que vertexOrder = 9. Ceci nous fournira l'indice auquel nous devrons placer le nouveau sommet découvert (K).

[Étape 6-2-2]  Affectation du numéro 9 pour le sommet K

orderedVertices[vertexOrder] := j; devient orderedVertices[9] := 9;

L'indice du sommet K est ajouté au tableau ordonné.

[Étape 7-0-0]  Affectation du sommet "parent" à traiter

i:=orderedVertices[parentVertex]; devient i := 6

Cela signifie que nous allons chercher les suivants du sommet S car nous en avons terminé avec M.

[Étape 7-0-1]  Incrémentation de parentVertex

parentVertex := parentVertex+1; devient parentVertex := 6+1;

Ce qui fait que parentVertex = 7. Ceci nous fournira l'indice du prochain sommet "parent" lorsque nous aurons exploré tous les suivants de S.

[Étape 8-0-0]  Affectation du sommet "parent" à traiter

i:=orderedVertices[parentVertex]; devient i := 2

Cela signifie que nous allons chercher les suivants du sommet L car nous en avons terminé avec S.

[Étape 8-0-0]  Remarque

À ce stade, nous devrions trouver le sommet S à l'indice 8, mais visitedVertices[8]=true. L'exploration BFS ne prendra donc pas en compte l'arc (S, B).

Comme l'arc (S, B) était le seul arc extérieur à S, nous n'entrons même pas dans la boucle tant_que ∃ y : (x,y) ∈ A ∧ visitedVertices[j]=false

[Étape 8-0-1]  Incrémentation de parentVertex

parentVertex := parentVertex+1; devient parentVertex := 7+1;

Ce qui fait que parentVertex = 8. Ceci nous fournira l'indice du prochain sommet "parent" lorsque nous aurons exploré tous les suivants de L.

[Étape 9-0-0]  Affectation du sommet "parent" à traiter

i:=orderedVertices[parentVertex]; devient i := 8

Cela signifie que nous allons chercher les suivants du sommet B car nous en avons terminé avec L.

[Étape 9-0-1]  Incrémentation de parentVertex

parentVertex := parentVertex+1; devient parentVertex := 8+1;

Ce qui fait que parentVertex = 9. Ceci nous fournira l'indice du prochain sommet "parent" lorsque nous aurons exploré tous les suivants de B.

[Étape 10-0-0]  Affectation du sommet "parent" à traiter

i:=orderedVertices[parentVertex]; devient i := 9

Cela signifie que nous allons chercher les suivants du sommet K car nous en avons terminé avec B.

[Étape 10-0-1]  Incrémentation de parentVertex

parentVertex := parentVertex+1; devient parentVertex := 9+1;

Ce qui fait que parentVertex = 10. Ceci nous fournira l'indice du prochain sommet "parent" lorsque nous aurons exploré tous les suivants de K.

[Étape 11]  Non-respect de la condition de boucle

L'algorithme prend effectivement fin avant d'entrer dans la boucle, car la condition n'est pas respectée : 9  n'est pas ≥ à 10.

Ordre d'exploration BFS

Références

1. BFS : lien interne, L'algorithme BFS en détails

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